有没有更好的算法来为组合分配数字？

Question

众所周知，Pascal的身份可用于将n个中的k个元素的组合编码为使用组合数系统从0到(n \\choose k) - 1 （我们称这个数字为组合索引 ）的数字 。 假设算术运算的时间恒定，该算法需要O（ n ）时间。 ^†

我有一个应用，其中k « n和O（ n ）时间的算法是不可行的。 有一种算法来分配双射和0之间的数(n \\choose k) - 1至k个元素的组合n个其运行时间为顺序O（K）或类似的？ 该算法不需要计算与组合数系统相同的映射，但是，逆需要在类似的时间复杂度下可计算。

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†更具体地说，从组合索引计算组合的算法在O（ n ）时间内运行。 如果预先计算二项式系数，则从组合中计算组合索引在O（ k ）时间内起作用。

Answer 1

评论说明。

对于给定的组合索引（ N ），为了找到第k'th数字，需要找到c_k使得(c_k \\choose k) <= N并且((c_k+1) \\choose k) > N

设置P(i,k) = i!/(ik)! 。

P(i, k) = i * (i-1) * ... * (i-k+1)
substitute x = i - (k-1)/2
  = (x+(k-1)/2) * (x+(k-1)/2-1) * ... * (x-(k-1)/2+1) * (x-(k-1)/2)
  = (x^2 - ((k-1)/2)^2) * (x^2 - ((k-1)/2-1)^2) * ...
  = x^k - sum(((k-2i-1)/2)^2))*x^(k-2) + O(x^(k-4))
  = x^k - O(x^(k-2))
P(i, k) = (i - (k-1)/2)^k - O(i^(k-2))

从上面的不平等：

(c_k \choose k) <= N
P(c_k, k) <= N * k!
c_k ~= (N * k!)^(1/k) + (k-1)/2

我不确定O（c_k ^（k-2））部分有多大。 我想它不会影响太大。 如果它是有序的(c_k+1)/(c_k-k+1)比近似非常好。 那是因为：

((c_k+1) \choose k) = (c_k \choose k) * (c_k + 1) / (c_k - k + 1)

我会尝试算法类似于：

For given k
Precalculate k!

For given N
For i in (k, ..., 0)
  Calculate c_i with (N * i!)^(1/i) + (i-1)/2
  (*) Check is P(c_i, k) <=> N * i!
    If smaller check c_i+1
    If larger check c_i-1
    Repeat (*) until found P(c_i, i) <= N * i! < P(c_i+1, i)
  N = N - P(c_i, i)

如果近似是好的， number of steps << k ，而不是找到一位是O（k）。