If-Then-ElseIf-Then在混合整数线性规划中

Question

我试图在Python的PuLP中构建If-Then-Else-If ...条件。

我在MIP中看过If-Then和If-Then-Else 。 但是，我试图了解如何将选择进一步传播到下一组约束以及如何处理2个以上的决策分支。

要解释一下，请考虑此处显示的图像中显示的条件约束：

x和y是我的决定变量。 基本上，这读作：

if x=0: C2>0 
elif x=1: C10>0
elif x=2: C3>0

if x=0 and y=0: 
    C4>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=0 and y=1: 
    C5>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=0: 
    C6>0; 
    C9>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=1: 
    C7>0; 
    C9>0; 
    C10>0

我知道如何使用“大M”技术来处理简单的if-then-else情况。 例如，如果问题是：

Problem: 
   if (x = 1) then (A < 0) else (B < 0)
Solution: 
   problem += A < M1*(1-x)
   problem += B < M2*x

我不明白的是，如何改变这个：

1. 如果有超过2个分支，那么它不再是x和（1-x）的乘法。
2. 如果原始决策下面有后续分支，则更多的决策都取决于上面的值。

Answer 1

这里涉及三个步骤：

第一：

重新组合x变量，使它们是二进制而不是{0,1,2}。 （严格来说，这不是必要的，但我认为它使解决方案更清晰，更容易概括。）

因此，引入三个新的二进制变量x0 ， x1 ， x2并将它们约束如下：

x0 >= 1 - x
x0 <= 1 - 0.5x

x2 >= x - 1
x2 <= 0.5 x

x1 = x - 2x2

所以：如果x = 0 ，则前两个约束要求x0 = 1 ，后两个要求x2 = 0 ，最后两个要求x1 = 0 。 并且类似地，如果x = 1或x = 2 。 （你应该仔细检查我的逻辑。）

您的模型将包含原始x变量和新的二进制变量。

第二：

创建一个名为w_ijkl的新二元决策变量，如果x0 = i ， x1 = j ， x2 = k ，则y = l等于1，对于{0,1}中的i ， j ， k ， l 。 通过以下约束强制执行此定义：

w_ijkl >= i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
          k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y) - 3
w_ijkl <= 0.25 * [i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
                  k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y)]

第一个约束表示如果所有四个变量都等于它们的目标（ i ， j等），则w_ijkl必须等于1，否则它可以等于0.第二个约束表示如果所有四个等于它们的目标，那么w_ijkl可能等于1 ，否则它必须等于0。

因此，例如，w_0110得到这些约束：

w_0110 >= 1-x0 + x1 + x2 + (1-y) - 3
w_0110 <= 0.25 * [1-x0 + x1 + x2 + (1-y)]

第三：

根据需要使用big M来打开和关闭约束。 因此，例如，要求C6 >= 0如果x=2且y=0 ，请使用：

C6 >= M * (w_0010 - 1)

（顺便说一下，通常你不能在MIP中使用严格的不等式约束 - 你需要大于或等于或小于或等于的约束。）