Haskell中的`join`和`fmap join`是否等于（从类别理论的角度来看）？

Question

我的问题来自Haskell的monad的第一定律： join . fmap join = join . join join . fmap join = join . join join . fmap join = join . join 。

在Haskell / Category_theory中，该法律由以下图片证明：

我对这个例子使用类型的实例而不是类型的事实感到困惑。 因为Hask类中的对象是类型，而不是它们的实例。

所以我尝试用类型重绘这个例子，这里我得到了：

在该图中，两个箭头（ join和fmap join ）都导致M(M(X)) 。 这是同一个对象，还是有两个不同的M(M(X)) ？

Answer 1

我对这个例子使用类型的实例而不是类型的事实感到困惑。 因为Hask类中的对象是类型，而不是它们的实例。

该示例使用类的实例， 该类本身就是一个类型 。

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在Haskell中，是的，这是同一个对象（类型）。 Monad类型类的实例必须是类型构造函数，类型构造函数是单射的。 那么，应该很清楚

X = X   =>   M(X) = M(X)   =>   M(M(X)) = M(M(X))

这里的问题是，这只意味着它们是相同的类型，而不是价值。 仅仅因为fmap join和join都可以将它们的类型专门用于Monad m => m (m (ma)) -> m (ma)并不意味着它们做同样的事情。

他们没有。

ghci> (fmap join) [[[1],[2],[3]]]
[[1,2,3]]         
ghci> join [[[1],[2],[3]]]
[[1],[2],[3]]

并非所有类别的图纸都必须最终成为通勤图。 :)

Answer 2

从图片中，您可以看到fmap join和join产生相同类型的 不同值。 因此，它们是不相同的，即使它们与组合物 join最终产生相同的值。

在范畴论中，同态性是一种态射g ，使得f1 . g == f2 . g f1 . g == f2 . g f1 . g == f2 . g意味着f1 == f2也是如此。 在这种情况下，我们可以看到join 不是一个异形，因为虽然fmap join . join == join. join fmap join . join == join. join fmap join . join == join. join ， fmap join == join是不正确的。