Haskell中的`join`和`fmap join`是否等於（從類別理論的角度來看）？

Question

我的問題來自Haskell的monad的第一定律： join . fmap join = join . join join . fmap join = join . join join . fmap join = join . join 。

在Haskell / Category_theory中，該法律由以下圖片證明：

我對這個例子使用類型的實例而不是類型的事實感到困惑。 因為Hask類中的對象是類型，而不是它們的實例。

所以我嘗試用類型重繪這個例子，這里我得到了：

在該圖中，兩個箭頭（ join和fmap join ）都導致M(M(X)) 。 這是同一個對象，還是有兩個不同的M(M(X)) ？

Answer 1

我對這個例子使用類型的實例而不是類型的事實感到困惑。 因為Hask類中的對象是類型，而不是它們的實例。

該示例使用類的實例， 該類本身就是一個類型 。

---

在Haskell中，是的，這是同一個對象（類型）。 Monad類型類的實例必須是類型構造函數，類型構造函數是單射的。 那么，應該很清楚

X = X   =>   M(X) = M(X)   =>   M(M(X)) = M(M(X))

這里的問題是，這只意味着它們是相同的類型，而不是價值。 僅僅因為fmap join和join都可以將它們的類型專門用於Monad m => m (m (ma)) -> m (ma)並不意味着它們做同樣的事情。

他們沒有。

ghci> (fmap join) [[[1],[2],[3]]]
[[1,2,3]]         
ghci> join [[[1],[2],[3]]]
[[1],[2],[3]]

並非所有類別的圖紙都必須最終成為通勤圖。 :)

Answer 2

從圖片中，您可以看到fmap join和join產生相同類型的 不同值。 因此，它們是不相同的，即使它們與組合物 join最終產生相同的值。

在范疇論中，同態性是一種態射g ，使得f1 . g == f2 . g f1 . g == f2 . g f1 . g == f2 . g意味着f1 == f2也是如此。 在這種情況下，我們可以看到join 不是一個異形，因為雖然fmap join . join == join. join fmap join . join == join. join fmap join . join == join. join ， fmap join == join是不正確的。