DFA语言奇数

Question

有人可以帮我画一个接受这种语言的NFA吗？

{ w | the length of w is 6k + 1 for some k ≥ 0 }

我已经在这个问题上停留了几个小时。 我不知道k在哪里起作用以及在图中如何使用...

Answer 1

{ w | the length of w is 6k + 1 for some k ≥ 0 }

我们可以使用Myhill-Nerode定理为该语言构造性地产生最小的DFA。 这是一个有用的练习。 首先，定义：

两个字符串w和x相对于语言L iff是无法区分的 ：（1）对于每个字符串y ，使得wy在L ， xy在L ； （2）对于每个字符串z ，使xz在L ， wz在L 。

Myhill-Nerode的见解是，如果两个字符串与常规语言是无法区分的，则该语言的最小DFA将使该机器对于这两个字符串最终处于相同状态。 不可区分性是自反的，对称的和可传递的，因此我们可以在其上定义等价类。 这些等效类直接对应于最小DFA中的状态集。 现在，找到我们语言的等效类。 我们考虑长度增加的字符串，并针对每个字符串是否与之前的任何字符串都没有区别：

1. e （空字符串）之前没有字符串。 我们需要一个状态q0来对应于该字符串所属的对等类。 在e之后到达L的字符串的字符串集合是L本身； 也写成c(c^6)*
2. c ，任何长度为1的字符串，其前都只有e 。 但是，这些并不是无法区分的。 我们可以将e添加到c以得到ce = c ，这是L的字符串，但是我们不能将e添加到e以获取L的字符串，因为e不在L 。 因此，对于c所属的等价类，我们需要一个新的状态q1 。 在c之后到达L的字符串的字符串集合为(c^6)* 。
3. 事实证明，这里我们需要一个新的状态q2 ； 将cc传递到L的字符串的字符串集是ccccc(c^6)* 。 显示这个。
4. 事实证明，这里我们需要一个新的状态q3 ； 将ccc转换为L的字符串的字符串集是cccc(c^6)* 。 显示这个。
5. 事实证明，这里我们需要一个新的状态q4 ； 将cccc转换为L的字符串的字符串集合是ccc(c^6)* 。 显示这个。
6. 事实证明，这里我们需要一个新的状态q5 ； 将ccccc转换为L的字符串的字符串集是cc(c^6)* 。 显示这个。
7. 考虑字符串cccccc 。 什么弦将我们带到L弦？ 好吧， c 。 c后面跟着任何长度为6的字符串也是如此。有趣的是，这与L本身相同。 我们已经有了，一个等价类： e还可以随后以任何字符串L得到一个字符串L 。 cccccc和e是无法区分的。 此外，由于所有长度为6的字符串都无法与较短的字符串区分开，因此我们不再需要继续检查较长的字符串。 我们的DFA保证具有已经确定的状态q0 - q5之一。 而且，我们上面所做的工作定义了我们在DFA中所需的过渡，初始状态和接受状态：
   • 的DFA将对符号的过渡c从状态q为状态q'如果x是在对应于等价类的字符串q和xc是在对应于等价类的字符串q' ;
   • 初始状态将是与空字符串e所属的等价类对应的状态；
   • 状态q接受是否有属于该语言的等价类的任何字符串（因此所有字符串）都在该语言中； 或者，如果将等价类中的字符串作为L的字符串的一组字符串包括e ，则为空字符串。

我们可以使用上面的注释以表格形式编写DFA：

q    x    q'
--   --   --
q0   c    q1 //     e + c = c
q1   c    q2 //     c + c = cc
q2   c    q3 //    cc + c = ccc
q3   c    q4 //   ccc + c = cccc
q4   c    q5 //  cccc + c = ccccc
q5   c    q0 // ccccc + c = cccccc ~ e

我们以q0作为初始状态，唯一接受的状态是q1 。

Answer 2

这是一个NFA，它将向前6个状态前进，然后如果再有一个字符，它将在最终状态下停止。 否则，它将不确定地循环回到开始状态并经过最终状态。

(Start) S1 -> S2 -> S3 -> S5 -> S6 -> S7 (Final State) -> S8 - (loop forever)
                                                           ^ |
        ^                        v                         |_|
        |________________________| (non deterministically)