DFA語言奇數

Question

有人可以幫我畫一個接受這種語言的NFA嗎？

{ w | the length of w is 6k + 1 for some k ≥ 0 }

我已經在這個問題上停留了幾個小時。 我不知道k在哪里起作用以及在圖中如何使用...

Answer 1

{ w | the length of w is 6k + 1 for some k ≥ 0 }

我們可以使用Myhill-Nerode定理為該語言構造性地產生最小的DFA。 這是一個有用的練習。 首先，定義：

兩個字符串w和x相對於語言L iff是無法區分的 ：（1）對於每個字符串y ，使得wy在L ， xy在L ； （2）對於每個字符串z ，使xz在L ， wz在L 。

Myhill-Nerode的見解是，如果兩個字符串與常規語言是無法區分的，則該語言的最小DFA將使該機器對於這兩個字符串最終處於相同狀態。 不可區分性是自反的，對稱的和可傳遞的，因此我們可以在其上定義等價類。 這些等效類直接對應於最小DFA中的狀態集。 現在，找到我們語言的等效類。 我們考慮長度增加的字符串，並針對每個字符串是否與之前的任何字符串都沒有區別：

1. e （空字符串）之前沒有字符串。 我們需要一個狀態q0來對應於該字符串所屬的對等類。 在e之后到達L的字符串的字符串集合是L本身； 也寫成c(c^6)*
2. c ，任何長度為1的字符串，其前都只有e 。 但是，這些並不是無法區分的。 我們可以將e添加到c以得到ce = c ，這是L的字符串，但是我們不能將e添加到e以獲取L的字符串，因為e不在L 。 因此，對於c所屬的等價類，我們需要一個新的狀態q1 。 在c之后到達L的字符串的字符串集合為(c^6)* 。
3. 事實證明，這里我們需要一個新的狀態q2 ； 將cc傳遞到L的字符串的字符串集是ccccc(c^6)* 。 顯示這個。
4. 事實證明，這里我們需要一個新的狀態q3 ； 將ccc轉換為L的字符串的字符串集是cccc(c^6)* 。 顯示這個。
5. 事實證明，這里我們需要一個新的狀態q4 ； 將cccc轉換為L的字符串的字符串集合是ccc(c^6)* 。 顯示這個。
6. 事實證明，這里我們需要一個新的狀態q5 ； 將ccccc轉換為L的字符串的字符串集是cc(c^6)* 。 顯示這個。
7. 考慮字符串cccccc 。 什么弦將我們帶到L弦？ 好吧， c 。 c后面跟着任何長度為6的字符串也是如此。有趣的是，這與L本身相同。 我們已經有了，一個等價類： e還可以隨后以任何字符串L得到一個字符串L 。 cccccc和e是無法區分的。 此外，由於所有長度為6的字符串都無法與較短的字符串區分開，因此我們不再需要繼續檢查較長的字符串。 我們的DFA保證具有已經確定的狀態q0 - q5之一。 而且，我們上面所做的工作定義了我們在DFA中所需的過渡，初始狀態和接受狀態：
   • 的DFA將對符號的過渡c從狀態q為狀態q'如果x是在對應於等價類的字符串q和xc是在對應於等價類的字符串q' ;
   • 初始狀態將是與空字符串e所屬的等價類對應的狀態；
   • 狀態q接受是否有屬於該語言的等價類的任何字符串（因此所有字符串）都在該語言中； 或者，如果將等價類中的字符串作為L的字符串的一組字符串包括e ，則為空字符串。

我們可以使用上面的注釋以表格形式編寫DFA：

q    x    q'
--   --   --
q0   c    q1 //     e + c = c
q1   c    q2 //     c + c = cc
q2   c    q3 //    cc + c = ccc
q3   c    q4 //   ccc + c = cccc
q4   c    q5 //  cccc + c = ccccc
q5   c    q0 // ccccc + c = cccccc ~ e

我們以q0作為初始狀態，唯一接受的狀態是q1 。

Answer 2

這是一個NFA，它將向前6個狀態前進，然后如果再有一個字符，它將在最終狀態下停止。 否則，它將不確定地循環回到開始狀態並經過最終狀態。

(Start) S1 -> S2 -> S3 -> S5 -> S6 -> S7 (Final State) -> S8 - (loop forever)
                                                           ^ |
        ^                        v                         |_|
        |________________________| (non deterministically)