檢查上下文無關文法是否生成DFA拒絕的無限語言的算法

Question

我有一個DFA A和一個CFG G，然后我必須檢查G是否生成了A不接受的無限單詞（被A拒絕），以及很好的復雜度。

我想用CFG構造一個圖，如果它包含一個有向循環，那么會產生一種無限的語言。 頂點是變量，對於每次生產，我都會畫一些邊緣。 輸入是DFA拒絕的所有單詞，當我找到一個循環時，我可以說CFG生成了DFA A拒絕的無限語言。

我不知道如何將其轉換為一種算法，或者我的建議不正確，因此我必須創建一個新的建議。

編輯：我可以將cfg轉換為CNF，然后轉換為DFA（使用chomsky）。之后，我嘗試找到一個循環。 但是，我轉換后的dfa的狀態可能少於dfa a...。我需要如何在我認為的cfg中獲得DFA A拒絕的字詞。

Answer 1

給定CFG G，構造PDAB。給定DFA A和PDA B，構造PDA C，使C接受L（C）= L（B）\\ L（A），其中\\為設置差。 現在，L（C）恰好是PDA B接受的單詞的語言（因此由CFG G生成），但未被DFA接受（即拒絕）。

現在的問題是B的語言是否無限。 我們做得到。 一種方法是將PDA轉換回CFG，然后將CFG放入CNF中-刪除不必要和無效的符號。 然后，在非終結符之間創建一個依賴關系樹。 如果任何剩余的（生產性的）非終止符號都取決於自身，即存在一個循環，則該語言是無限的。 否則，語言是有限的（如果沒有可用的生產符號，則為空）。