具有if语句的嵌套循环的时间复杂度O（N）：O（N ^ 4）？

Question

我试图找出这个片段的big-O方面的严格限制：

for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
    for(int j = 1; j <= i*i ; j++) {
        if (j% i == 0){
            for(int k = 0 ; k<j ; k++ )
                sum++;
        }
    }
}

如果我们从最内层循环开始，它将在最坏的情况下运行k = n ^ 2次，这占O（N ^ 2）。 每次j = m * i时，if语句都为真，其中m是任意常数。 由于j从1运行到i ^ 2，这将发生在m = {1,2，...，i}时，这意味着它将是真的i次，并且我最多可以是n，所以最坏的情况将是是m = {1,2，...，n} = n次。 如果i = n，则第二个循环应该具有O（N ^ 2）的情况。 外环具有O（N）的最差情况复杂度。

我认为这将以下列方式组合：内部循环的O（N ^ 2）*第二循环的O（N ^ 2）*外部循环的O（N）给出O的最坏情况时间复杂度（ N R个5）

但是，if语句保证我们只会到达内循环n次，而不是n ^ 2。 但无论如何，我们仍然需要经历外循环n * n ^ 2次。 if-test是否会影响代码段的最坏情况时间复杂度？

编辑：修正了j到i ^ 2，而不是我。

Answer 1

您可以通过在没有if情况下重写循环来简化分析，如下所示：

for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
    for(int j = 1; j <= i ; j++) {
        for(int k = 0 ; k<j*i ; k++ ) {
            sum++;
        }
    }
}

这消除了条件跳过循环的“有效载荷”的步骤。 这个等效的循环系统的复杂性是O（n ⁴ ）。

Answer 2

    I analyse your question in a more straightfroward way
    we first start by fix i as a costant, 
    for example, assume it to be k,
    so j=1~k^2, when j=k,2k,3k,...,k^2, assume j to be c*k (c=1~k)
    the next loop will be executed c^2 times, 
    so the complexity for a fix i can be expressed as=>
    (1+.....+1)+(1+1+...+2^2)+(1+1+...+3^2)+.....+(1+1+...+k^2)
    = O(k^3)
    so now we set k to be 1~n, so the total complexity will be O(n^4)