具有if語句的嵌套循環的時間復雜度O（N）：O（N ^ 4）？

Question

我試圖找出這個片段的big-O方面的嚴格限制：

for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
    for(int j = 1; j <= i*i ; j++) {
        if (j% i == 0){
            for(int k = 0 ; k<j ; k++ )
                sum++;
        }
    }
}

如果我們從最內層循環開始，它將在最壞的情況下運行k = n ^ 2次，這占O（N ^ 2）。 每次j = m * i時，if語句都為真，其中m是任意常數。 由於j從1運行到i ^ 2，這將發生在m = {1,2，...，i}時，這意味着它將是真的i次，並且我最多可以是n，所以最壞的情況將是是m = {1,2，...，n} = n次。 如果i = n，則第二個循環應該具有O（N ^ 2）的情況。 外環具有O（N）的最差情況復雜度。

我認為這將以下列方式組合：內部循環的O（N ^ 2）*第二循環的O（N ^ 2）*外部循環的O（N）給出O的最壞情況時間復雜度（ N R個5）

但是，if語句保證我們只會到達內循環n次，而不是n ^ 2。 但無論如何，我們仍然需要經歷外循環n * n ^ 2次。 if-test是否會影響代碼段的最壞情況時間復雜度？

編輯：修正了j到i ^ 2，而不是我。

Answer 1

您可以通過在沒有if情況下重寫循環來簡化分析，如下所示：

for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
    for(int j = 1; j <= i ; j++) {
        for(int k = 0 ; k<j*i ; k++ ) {
            sum++;
        }
    }
}

這消除了條件跳過循環的“有效載荷”的步驟。 這個等效的循環系統的復雜性是O（n ⁴ ）。

Answer 2

    I analyse your question in a more straightfroward way
    we first start by fix i as a costant, 
    for example, assume it to be k,
    so j=1~k^2, when j=k,2k,3k,...,k^2, assume j to be c*k (c=1~k)
    the next loop will be executed c^2 times, 
    so the complexity for a fix i can be expressed as=>
    (1+.....+1)+(1+1+...+2^2)+(1+1+...+3^2)+.....+(1+1+...+k^2)
    = O(k^3)
    so now we set k to be 1~n, so the total complexity will be O(n^4)