有向加权边缘图及其权重的算法

Question

我有一个有向图，边缘上有非负权重。

我的算法应执行以下操作：

• 获取从顶点u到顶点v的所有路径。
• 计算从u到v的每条路径上的最小加权边。
• 计算我从上面计算出的最小加权边的最大值。

什么算法对此有好处？ 我之所以这么问，是因为我可以天真地执行上述步骤（蛮力）。

我感觉这是对Dijkstra算法的略微修改，但我不确定。 另外，时间复杂度是多少？

Answer 1

我认为我们这里不需要dijkstra。 假设我们选择了具有所需的最小最大边缘的路径。 它显然不包括权重较小的边。 所以算法是

• 选择K最重的边缘
• 使用dfs / bfs来检查u是否可以通过此边缘到达v （ f(K) is true ）
• 如果K1>K2并且f(K2) is true ，则显然f(K1) is true
• 这样我们就可以对K执行二进制搜索

时间复杂度为O((N+M) log M) ，其中N顶点数和M边数

Answer 2

任何真正考虑从u到v的所有路径的算法都将花费指数时间，因为这种路径的数量是指数的-考虑一个梯子或2xN节点的网格-从一端到另一端沿着您的长维度具有至少N个独立的选择，因此至少2 ^ N个可能的路径。

我认为您可以修改Dijkstra的算法来做到这一点。 https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm#Pseudocode中有伪代码。 作为第一个修改，更改第6行以将所有初始距离设置为零。 我们需要考虑不变量，我们的第一个不变量可以是dist [v]是至v的路径中的最小边的最大值，对于到目前为止已看到的所有路径。 和之前一样，我们将prev [v]设置为undefined并将v添加到Q，该队列保存当前正在考虑的所有节点。 作为初始化的最后一部分，我们设置dist [source] = infinity-而不是0。您可以将其视为hack，也可以将其定义为从v到v的长度为0的路径中的最小边长度，没有任何优势。

现在，我们拥有Q包含所有仍在考虑最小边的最大值的节点，并且所有此类节点的该值只会不断增加。 现在我们从Q中删除具有dist [u]最大值的节点u-这是第13步，将min更改为max。 对于u的每个邻居v，我们计算min（dist [v]，length（u，v））。 这是沿从源到u的任何路径上最大可能的最小边长的新候选者，因此，如果它大于dist [u]，则将dist [u]设置为该值。 请注意，这意味着Q的元素u都不会将dist [u]的值设置为大于我们刚刚删除的Q的元素v的dist [v]的值，这是队列中的最大值那时候。 这意味着，一旦我们从队列中删除了元素v，它的值dist [v]就已经确定好了，以后的任何计算都不能增加。 请注意，我们刚刚更改了队列Q中某个节点的dist [u]。如果Q是使用诸如优先级队列之类的数据结构实现的，则这可能意味着该实现将必须在旧版本的优先级队列中删除u值dist [u]，然后在dist [u]的新值下重新插入。

正确性来自于不变量-每次使dist [v]沿到目前为止所考虑的每条路径的最小边的最大值dist，并且当我们从队列中删除v时，我们都知道-因为它对于仍然存在于队列中的所有对象都具有最大值队列-我们可以考虑的其他路径都无法更改该值。

出于相同的原因，执行此操作所需的时间与Dijkstra相同。 首先，我们将每个元素输入队列一次，然后将每个元素从队列中删除一次。 这告诉我们在第14行中执行了多少次删除操作。

（要计算最小加权边的最大值似乎很奇怪-这里是否有有趣的应用程序，还是让您考虑Dijkstra算法的人工练习？）