如何用`replace`完成可交换性的证明？

Question

在本文档中，提到了如何使用replace来完成证明，但最终使用rewrite ，这似乎是为您编写replace的语法糖。 我有兴趣了解如何显式使用它。

如果我理解正确，它可以用来将S k = S (plus k 0)重写为S (plus k 0) = S (plus k 0) ，并证明k = plus k 0 ，那么这是可证明的通过反射。 但是，如果我们将其replace {P = \\x => S x = S (plus k 0)} {x = k} {y = plus k 0} rec为replace {P = \\x => S x = S (plus k 0)} {x = k} {y = plus k 0} rec ，我们现在需要S k = S (plus k 0)的证明S k = S (plus k 0) ，这就是我们想证明的开始。 简而言之，我不确定P应该是什么。

Answer 1

嗯，回想起来很明显。 如果我们让：

P = \x => S x = S (plus k 0)

然后，我们可以证明x = (plus k 0) （通过自反）。 现在，如果让y = k ，那么通过使用replace ，我们得到了S k = S (plus k 0)的证明。 或者，换句话说：

plusCommZ : (m : Nat) -> m = plus m 0
plusCommZ Z = Refl
plusCommZ (S k) = replace 
  {P = \x => S x = S (plus k 0)}
  {x = plus k 0}
  {y = k}
  (sym (plusCommZ k))
  Refl

完成证明。 我们可以用P = \\x => S x = S k来进行另一种方式。