如何用`replace`完成可交換性的證明？

Question

在本文檔中，提到了如何使用replace來完成證明，但最終使用rewrite ，這似乎是為您編寫replace的語法糖。 我有興趣了解如何顯式使用它。

如果我理解正確，它可以用來將S k = S (plus k 0)重寫為S (plus k 0) = S (plus k 0) ，並證明k = plus k 0 ，那么這是可證明的通過反射。 但是，如果我們將其replace {P = \\x => S x = S (plus k 0)} {x = k} {y = plus k 0} rec為replace {P = \\x => S x = S (plus k 0)} {x = k} {y = plus k 0} rec ，我們現在需要S k = S (plus k 0)的證明S k = S (plus k 0) ，這就是我們想證明的開始。 簡而言之，我不確定P應該是什么。

Answer 1

嗯，回想起來很明顯。 如果我們讓：

P = \x => S x = S (plus k 0)

然后，我們可以證明x = (plus k 0) （通過自反）。 現在，如果讓y = k ，那么通過使用replace ，我們得到了S k = S (plus k 0)的證明。 或者，換句話說：

plusCommZ : (m : Nat) -> m = plus m 0
plusCommZ Z = Refl
plusCommZ (S k) = replace 
  {P = \x => S x = S (plus k 0)}
  {x = plus k 0}
  {y = k}
  (sym (plusCommZ k))
  Refl

完成證明。 我們可以用P = \\x => S x = S k來進行另一種方式。