伊莎貝爾結構證明

Question

有一組一些結構。 我試圖證明集合的基數等於某個數字。 完整的理論太長，無法在此處發布。 所以這里是一個簡化的只是為了展示這個想法。

讓對象（我需要計算）是包含從 1 到 n 的自然數的集合。 證明思路如下。 我定義了一個將集合轉換為 0 和 1 列表的函數。這是函數及其逆函數：

fun set_to_bitmap :: "nat set ⇒ nat ⇒ nat ⇒ nat list" where
  "set_to_bitmap xs x 0 = []"
| "set_to_bitmap xs x (Suc n) =
    (if x ∈ xs then Suc 0 else 0) # set_to_bitmap xs (Suc x) n"

fun bitmap_to_set :: "nat list ⇒ nat ⇒ nat set" where
  "bitmap_to_set [] n = {}"
| "bitmap_to_set (x#xs) n =
    (if x = Suc 0 then {n} else {}) ∪ bitmap_to_set xs (Suc n)"

value "set_to_bitmap {1,3,7,8} 1 8"
value "bitmap_to_set (set_to_bitmap {1,3,7,8} 1 8) 1"

然后我打算證明 1) 一些長度為 n 的 0/1 列表等於2^^n ，2) 函數是雙射，3) 所以原始集合的基數也是2^^n 。

這里有一些輔助定義和引理，看起來很有用：

definition "valid_set xs n ≡ (∀a. a ∈ xs ⟶ 0 < a ∧ a ≤ n)"
definition "valid_bitmap ps n ≡ length ps = n ∧ set ps ⊆ {0, Suc 0}"

lemma length_set_to_bitmap:
  "valid_set xs n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   length (set_to_bitmap xs x n) = n"
  apply (induct xs x n rule: set_to_bitmap.induct)
  apply simp
  sorry

lemma bitmap_members:
  "valid_set xs n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   set_to_bitmap xs x n = ps ⟹
   set ps ⊆ {0, Suc 0}"
  apply (induct xs x n arbitrary: ps rule: set_to_bitmap.induct)
  apply simp
  sorry

lemma valid_set_to_valid_bitmap:
  "valid_set xs n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   set_to_bitmap xs x n = ps ⟹
   valid_bitmap ps n"
  unfolding valid_bitmap_def
  using bitmap_members length_set_to_bitmap by auto

lemma valid_bitmap_to_valid_set:
  "valid_bitmap ps n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   bitmap_to_set ps x = xs ⟹
   valid_set xs n"
  sorry

lemma set_to_bitmap_inj:
  "valid_set xs n ⟹
   valid_set xy n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   set_to_bitmap xs x n = ps ⟹
   set_to_bitmap ys x n = qs ⟹
   ps = qs ⟹
   xs = ys"
  sorry

lemma set_to_bitmap_surj:
  "valid_bitmap ps n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   ∃xs. set_to_bitmap xs x n = ps"
  sorry

lemma bitmap_to_set_to_bitmap_id:
  "valid_set xs n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   bitmap_to_set (set_to_bitmap xs x n) x = xs"
  sorry

lemma set_to_bitmap_to_set_id:
  "valid_bitmap ps n ⟹
   x = Suc 0 ⟹
   set_to_bitmap (bitmap_to_set ps x) x n = ps"
  sorry

這是最后的引理：

lemma valid_set_size:
  "card {xs. valid_set xs n} = 2 ^^ n"

這種方法看起來有效嗎？ 有沒有這樣的證明的例子？ 你能提出一個關於如何證明引理的想法嗎？ 我被卡住了，因為set_to_bitmap.induct的歸納在set_to_bitmap.induct似乎不適用。

Answer 1

原則上，這種方法確實有效：如果你有一個從集合A到集合B的函數f和一個反函數，你可以證明bij_betw f AB （讀作： f是從A到B的雙射），然后這意味着card A = card B 。

但是，我有一些評論：

1. 如果無論如何你只能有 0 或 1，你應該使用bool列表而不是nat列表。

2. 使用現有的庫函數通常比自己定義新函數更好。 你的兩個函數可以使用這樣的庫函數來定義：

    set_to_bitmap :: nat ⇒ nat ⇒ nat set ⇒ bool list set_to_bitmap xn A = map (λi. i ∈ A) [x..<x+n] bitmap_to_set :: nat ⇒ bool list ⇒ nat set bitmap_to_set n xs = (λi. i + n) ` {i. i < length xs ∧ xs ! i}```

3. 旁注：我會使用大寫字母來表示集合，而不是像xs這樣的東西（通常用於列表）。

4. 也許這是因為您簡化了問題，但在目前的形式中， valid_set A n與A ⊆ {1..n}和A ⊆ {1..n}完全相同{A. valid_set A n} {A. valid_set A n}就是Pow {1..n} 。 庫的結果很容易顯示其基數：

    lemma "card (Pow {1..(n::nat)}) = 2 ^ n" by (simp add: card_Pow)`

至於你最初的問題：你的前幾個引理是可證明的，但要通過歸納，你必須首先擺脫一些不需要的假設。 x = Suc 0是最糟糕的——如果你把它作為假設，你就無法使用歸納法，因為一旦你做一個歸納步驟，你就將x增加 1，所以你將無法應用你的歸納假設。 前三個引理的以下版本很容易通過：

lemma length_set_to_bitmap:
  "length (set_to_bitmap xs x n) = n"
  by (induct xs x n rule: set_to_bitmap.induct) auto

lemma bitmap_members:
  "set (set_to_bitmap xs x n) ⊆ {0, Suc 0}"
  by (induct xs x n rule: set_to_bitmap.induct) auto

lemma valid_set_to_valid_bitmap: "valid_bitmap (set_to_bitmap xs x n) n"
  unfolding valid_bitmap_def
  using bitmap_members length_set_to_bitmap by auto

我還建議不要添加像ps = set_to_bitmap xs xn這樣的“縮寫”作為假設。 它不會破壞任何東西，但它往往會不必要地使事情復雜化。

下一個引理有點棘手。 由於您的遞歸定義，您必須首先概括引理（ valid_bitmap要求集合在1到n的范圍內，但是一旦您進行一個歸納步驟，它必須是從2到n ）。 以下工作：

lemma valid_bitmap_to_valid_set_aux:
  "bitmap_to_set ps x ⊆ {x..<x + length ps}"
  by (induction ps x rule: bitmap_to_set.induct)
     (auto simp: valid_bitmap_def valid_set_def)

lemma valid_bitmap_to_valid_set:
  "valid_bitmap ps n ⟹ valid_set (bitmap_to_set ps 1) n"
  using valid_bitmap_to_valid_set_aux unfolding valid_bitmap_def valid_set_def
  by force

射性和滿射性（這是您的最終目標）應該從這兩個是反函數的事實得出。 通過歸納證明這可能是可行的，但需要一些概括和輔助引理。 如果您堅持使用我在上面勾畫的庫函數的非遞歸定義，那應該會更容易。