如何计算有向图中所有可达的节点？

Question

有一个有向图（可能包含循环），每个节点上都有一个值，我们如何获得每个节点的可达值的总和。 例如，在下图中：

节点 1 的可达和为：2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

节点 2 的可达和为：4 + 5 + 6 + 7 = 22

.....

我的解决方案：要获得所有节点的总和，我认为时间复杂度为 O(n + m)，n 是节点数，m 代表边数。 应该使用DFS，对于每个节点，我们应该递归地使用一种方法来找到它的子节点，并在为它完成计算时保存子节点的总和，以便以后我们不需要再次计算它。 需要为每个节点创建一个集合，以避免循环导致无限计算。

它有效吗？ 我觉得它不够优雅，尤其是要创建很多集合。 有没有更好的解决办法？ 谢谢。

Answer 1

这可以通过首先找到强连通分量 (SCC)来完成，这可以在O(|V|+|E|) 。 然后，为 SCC 构建一个新图G' （每个 SCC 是图中的一个节点），其中每个节点的值是该 SCC 中节点的总和。

正式地，

G' = (V',E')
Where V' = {U1, U2, ..., Uk | U_i is a SCC of the graph G}
E' = {(U_i,U_j) | there is node u_i in U_i and u_j in U_j such that (u_i,u_j) is in E }

那么，这个图（G'）是一个有向无环图，问题变得更简单了，似乎是在评论中链接的问题的变体。

EDIT previous answer (strike out) 从这一点来看是一个错误，用新答案编辑。 对此感到抱歉。

现在，可以从每个节点使用 DFS 来查找值的总和：

DFS(v):
  if v.visited:
    return 0
  if v is leaf:
    return v.value
  v.visited = true
  return sum([DFS(u) for u in v.children])

• 这是 O(V^2 + VE) 最差的花瓶，但由于图中节点较少，因此 V 和 E 现在明显较低。
• 可以进行一些局部优化，例如，如果一个节点只有一个子节点，则可以重复使用预先计算的值，并且不再对子节点应用 DFS，因为在这种情况下不必担心计数两次。

此问题的 DP 解决方案 (DAG) 可以是：

 
 
 
  
  D[i] = value(i) + sum {D[j] | (i,j) is an edge in G' }
 
 

这可以在线性时间内计算（在 DAG 的 拓扑排序之后）。

伪代码：

1. 查找 SCC
2. 建造 G'
3. 拓扑排序 G'
4. 为 G' 中的每个节点查找 D[i]
5. 为 U_i 中的所有节点 u_i 应用值，对于每个 U_i。

总时间为 O(|V|+|E|) 。

Answer 2

您可以使用DFS或BFS算法来解决您的问题。 两者都有复杂度O(V + E)

您不必计算所有节点的所有值。 而且你不需要递归。 做这样的事情。

通常 DFS 看起来像这样。

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list

在您的情况下，您必须添加一些行

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
float sum = 0
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    sum += v->value
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list