如何計算有向圖中所有可達的節點？

Question

有一個有向圖（可能包含循環），每個節點上都有一個值，我們如何獲得每個節點的可達值的總和。 例如，在下圖中：

節點 1 的可達和為：2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

節點 2 的可達和為：4 + 5 + 6 + 7 = 22

.....

我的解決方案：要獲得所有節點的總和，我認為時間復雜度為 O(n + m)，n 是節點數，m 代表邊數。 應該使用DFS，對於每個節點，我們應該遞歸地使用一種方法來找到它的子節點，並在為它完成計算時保存子節點的總和，以便以后我們不需要再次計算它。 需要為每個節點創建一個集合，以避免循環導致無限計算。

它有效嗎？ 我覺得它不夠優雅，尤其是要創建很多集合。 有沒有更好的解決辦法？ 謝謝。

Answer 1

這可以通過首先找到強連通分量 (SCC)來完成，這可以在O(|V|+|E|) 。 然后，為 SCC 構建一個新圖G' （每個 SCC 是圖中的一個節點），其中每個節點的值是該 SCC 中節點的總和。

正式地，

G' = (V',E')
Where V' = {U1, U2, ..., Uk | U_i is a SCC of the graph G}
E' = {(U_i,U_j) | there is node u_i in U_i and u_j in U_j such that (u_i,u_j) is in E }

那么，這個圖（G'）是一個有向無環圖，問題變得更簡單了，似乎是在評論中鏈接的問題的變體。

EDIT previous answer (strike out) 從這一點來看是一個錯誤，用新答案編輯。 對此感到抱歉。

現在，可以從每個節點使用 DFS 來查找值的總和：

DFS(v):
  if v.visited:
    return 0
  if v is leaf:
    return v.value
  v.visited = true
  return sum([DFS(u) for u in v.children])

• 這是 O(V^2 + VE) 最差的花瓶，但由於圖中節點較少，因此 V 和 E 現在明顯較低。
• 可以進行一些局部優化，例如，如果一個節點只有一個子節點，則可以重復使用預先計算的值，並且不再對子節點應用 DFS，因為在這種情況下不必擔心計數兩次。

此問題的 DP 解決方案 (DAG) 可以是：

 
 
 
  
  D[i] = value(i) + sum {D[j] | (i,j) is an edge in G' }
 
 

這可以在線性時間內計算（在 DAG 的 拓撲排序之后）。

偽代碼：

1. 查找 SCC
2. 建造 G'
3. 拓撲排序 G'
4. 為 G' 中的每個節點查找 D[i]
5. 為 U_i 中的所有節點 u_i 應用值，對於每個 U_i。

總時間為 O(|V|+|E|) 。

Answer 2

您可以使用DFS或BFS算法來解決您的問題。 兩者都有復雜度O(V + E)

您不必計算所有節點的所有值。 而且你不需要遞歸。 做這樣的事情。

通常 DFS 看起來像這樣。

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list

在您的情況下，您必須添加一些行

unmark all vertices
choose some starting vertex x
mark x
list L = x
float sum = 0
while L nonempty
    choose some vertex v from front of list
    visit v
    sum += v->value
    for each unmarked neighbor w
        mark w
        add it to end of list