具有嵌套迭代函数的递归算法的时间复杂度？

Question

一个）

void f(n){
  if(n<=1) return;
    else{
      g(n); //g(n) is O(N^2).
      f(n/2);
      f(n/2);
    } 
}

b）

void f(n){
  if(n<=1) return;
    else{
      g(n); //g(n) is O(N).
      f(n-1);
      f(n-1);
    } 
}

C）

void f(n){
  if(n<=1) return;
    else{
      g(n); //g(n) is O(N^2).
      f(n-1);
      f(n-1);
    } 
}

如何计算上述两个代码段的O（n）复杂度？

a）我得到了答案O（n ^ 2），因为每个f（n）递归地调用自己两次。 并且由于树的深度是LogN（n / 2），总体复杂度是O（n ^ 2），我是否忽略g（n）方法，因为它也是N ^ 2？

b）由于树的深度是N，并且每个f（n）递归地称自己两次。 并且由于每个级别需要执行N次操作g（n），我得到了答案O（N.2 ^（N））。

c）与b）相同但是g（n）在N ^ 2时间内进行 - 因此O（N ^ 2.2 ^（N））。

它是否正确？

Answer 1

a）递归方程如下所示。

如果你展开递归，我们有：

所以我们想要计算最后的等式，它等于：

由于上面等式的最后一部分是几何系列，我们有：

所以递归是 。

b）方法与以前相同。

等于：

所以答案是

c）第三部分可以用相同的技术解决。

PS：感谢Alexandre Dupriez的评论。

PS：对于总结的优雅简化，阅读亚历山大的评论。