使用SciPy的minimum_squares（）进行曲线拟合

Question

我正在使用Python进行最小二乘曲线拟合，并获得了不错的结果，但希望它更加健壮。

我有来自一阶LTI系统的数据，更具体地说是由测速仪读取的电机速度。 我试图适应电机的阶跃响应，以便推断出其传递函数。

速度（v（t））具有以下形式：v（t）= K *（1-exp（-t / T））

我在使用的数据中存在一些异常值，并希望缓解它们。 这通常在速度变得恒定时发生。 假设速度为10000个单位，有时我会得到10000 +/- 400的离群值。我想知道如何设置f_scale参数，因为我希望数据点保持在“实际”速度（平均值）的+/- 400以内。 我应该将f_scale设置为400还是800？ 我不确定应该在那设置什么。

谢谢

编辑：一些数据。

Answer 1

我构建了一个最小的示例，该示例适用于与您相似的曲线。 如果您发布的是实际数据而不是图片，则速度会更快一些。 这两个关键的东西，了解有关与强大的配件least_squares是，你必须要使用的不同的值loss比线性参数和f_scale被用作损失函数的缩放参数。

基本上，从文档中， least_squares尝试

minimize F(x) = 0.5 * sum(rho(f_i(x)**2)

在上述公式中，设置损耗loss参数将改变rho 。 对于loss='linear' rho只是恒等函数。 当loss='soft_l1' ， rho(z) = 2 * ((1 + z)**0.5 - 1) 。 f_scale用于缩放损失函数，以使rho_(f**2) = C**2 * rho(f**2 / C**2) 。 因此，它与您在上面所要求的含义不同，它更像是一种减少较大错误的方法。

在这种特殊情况下，它似乎并没有太大的区别。

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize

tmax = 6000
N = 100
K = 6000
T = 200

smootht = numpy.linspace(0, tmax, 1000)
tm = numpy.linspace(0, tmax, N)

def f(t, K, T):
    return K * (1 - numpy.exp(-t/T))

v = f(smootht, K, T)

vm = f(tm, K, T) + numpy.random.randn(N)*400

def error(pars):
    K, T = pars
    vp = f(tm, K, T)
    return vm - vp

f_scales = [0.01, 1, 100]

plt.scatter(tm, vm)
for f_scale in f_scales:
    r = scipy.optimize.least_squares(error, [10, 10], loss='soft_l1', f_scale=f_scale)
    vp = f(smootht, *r.x)
    plt.plot(smootht, vp, label=f_scale)
plt.legend()

结果图如下：

我的建议是从开始尝试不同的损失函数开始，然后再使用f_scale 。