如何创建一个0和1的矩阵，使行和列的总和等于特定值？

Question

我需要生成一个具有n列和m行的矩阵，其中每个单元格可以为0或1 ，这样每列中的数字之和等于c ，每行中的数字之和等于r 。 如果不可能（可能大部分时间），则列总和应为c+/-d ，行应为r+/-d以使max（所有行和列的d）尽可能小。 换句话说，行的每个和应接近r ，列的每个和应接近c 。

为了说明当不存在完美解决方案时我在寻找什么，该解决方案：

1.1.1.......
1.1.1.......
...1..1...1.
...1.1..1...
....1...1..1

比这个解决方案更好：

1.1.1.......
1.1.1.......
...1..1...1.
...1.1..1...
....11..1...

因为最后一行与先前的解决方案的总和为0（与1比较），所以与所需的行总和为2的距离更远。

创建一个仅容纳行的矩阵很容易，可以对向量恰好为r 1s进行排列。 但是如何满足第二个条件呢？ 查找总和过高而又太低的列并交换一些数字？ 这是否有帮助，需要多长时间，甚至无法终止，如果不可能获得理想的结果，我什么时候停止？ 有没有更好的办法？

您可以使用伪代码或您选择的语言，也可以只使用随机内容。

我发现在给定行和列总和的情况下查找二进制矩阵是否存在，这涉及到回答是否可能，甚至构造一个可能的解决方案。 如果不可能的话，这种解决方案将具有很大的ds。

还有这篇论文https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X06003980我不是很了解，但它似乎也与构建完美的解决方案有关

Answer 1

这可以通过整数线性编程来完成。

library(lpSolve)

# inputs
nr <- 3  # no of rows
nc <- 3  # no of cols
r <- 2   # sum of each row equals r
c <- 2   # sum of each col equals c

obj <- rep(1, nr * nc)
const.mat <- rbind(
 t(rep(1, nc) %x% diag(nr)),  # this matrix multiplied by c(m) is row sums
 (diag(nc) %x% t(rep(1, nr)))  # this matrix multiplied by c(m) is col sums
)
const.rhs <- c(rep(r, nr), rep(c, nc))
out <- lp(obj = obj, const.mat = const.mat, const.dir = "=", const.rhs = const.rhs, 
  all.bin = TRUE)

out
## Success: the objective function is 6 

matrix(out$solution, nr, nc)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    1    1
## [2,]    1    0    1
## [3,]    1    1    0

Answer 2

您可以为此使用igraph包中的sample_degseq函数，该igraph将创建具有给定顶点度的图。 此图的邻接矩阵将具有您想要的属性。

library(igraph)
row_col_sum = 3 
dim = 8
g = sample_degseq(rep(row_col_sum,dim), method = "simple.no.multiple")
as_adj(g)

输出：

8 x 8 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

[1,] . . . . . 1 1 1
[2,] . . 1 1 1 . . .
[3,] . 1 . . 1 . 1 .
[4,] . 1 . . . 1 . 1
[5,] . 1 1 . . . 1 .
[6,] 1 . . 1 . . . 1
[7,] 1 . 1 . 1 . . .
[8,] 1 . . 1 . 1 . .

希望这可以帮助！