如何证明 (forall x, P x /\\ Q x) -> (forall x, P x)

Question

如何在 Coq 中证明 (forall x, P x /\\ Q x) -> (forall x, P x)？ 已经尝试了几个小时，但不知道如何分解 Coq 可以消化的东西的前因。 （我是新手，显然:)

Answer 1

你可以通过应用 H 来更快地完成它，但是这个脚本应该更清晰。

Lemma foo : forall (A:Type) (P Q: A-> Prop), (forall x, P x /\ Q x) -> (forall x, P x).
intros.
destruct (H x). 
exact H0.
Qed.

Answer 2

Assume ForAll x: P(x) /\ Q(x)
   var x; 
      P(x) //because you assumed it earlier
   ForAll x: P(x)
(ForAll x: P(x) /\ Q(x)) => (ForAll x: P(x))

直观地说，如果对于所有 x，P(x) AND Q(x) 成立，那么对于所有 x，P(x) 成立。

Answer 3

尝试

elim (H x).

Answer 4

实际上，当我发现这个时，我想出了这个：

计算机科学家的数学 2

在第 5 课中，他解决了完全相同的问题，并使用“cut (P x /\\ Q x)”将目标从“P x”重写为“P x /\\ Q x -> P x”。 从那里您可以进行一些操作，当目标只是“P x /\\ Q x”时，您可以应用“forall x : P x /\\ Q x”，其余的很简单。

Answer 5

这是答案：

Lemma fa_dist_and   (A : Set) (P : A -> Prop) (Q: A -> Prop): 

(forall x, P x) /\ (forall x, Q x) <-> (forall x : A, P x /\ Q x).

Proof.

split.

intro H.

(destruct H).

intro H1.

split.

(apply H).

(apply H0).

intro H.

split.

intro H1.

(apply H).

intro H1.

(apply H).

Qed.

您可以在此文件中找到其他已解决的练习： https : //cse.buffalo.edu/~knepley/classes/cse191/ClassNotes.pdf