如何證明 (forall x, P x /\\ Q x) -> (forall x, P x)

Question

如何在 Coq 中證明 (forall x, P x /\\ Q x) -> (forall x, P x)？ 已經嘗試了幾個小時，但不知道如何分解 Coq 可以消化的東西的前因。 （我是新手，顯然:)

Answer 1

你可以通過應用 H 來更快地完成它，但是這個腳本應該更清晰。

Lemma foo : forall (A:Type) (P Q: A-> Prop), (forall x, P x /\ Q x) -> (forall x, P x).
intros.
destruct (H x). 
exact H0.
Qed.

Answer 2

Assume ForAll x: P(x) /\ Q(x)
   var x; 
      P(x) //because you assumed it earlier
   ForAll x: P(x)
(ForAll x: P(x) /\ Q(x)) => (ForAll x: P(x))

直觀地說，如果對於所有 x，P(x) AND Q(x) 成立，那么對於所有 x，P(x) 成立。

Answer 3

嘗試

elim (H x).

Answer 4

實際上，當我發現這個時，我想出了這個：

計算機科學家的數學 2

在第 5 課中，他解決了完全相同的問題，並使用“cut (P x /\\ Q x)”將目標從“P x”重寫為“P x /\\ Q x -> P x”。 從那里您可以進行一些操作，當目標只是“P x /\\ Q x”時，您可以應用“forall x : P x /\\ Q x”，其余的很簡單。

Answer 5

這是答案：

Lemma fa_dist_and   (A : Set) (P : A -> Prop) (Q: A -> Prop): 

(forall x, P x) /\ (forall x, Q x) <-> (forall x : A, P x /\ Q x).

Proof.

split.

intro H.

(destruct H).

intro H1.

split.

(apply H).

(apply H0).

intro H.

split.

intro H1.

(apply H).

intro H1.

(apply H).

Qed.

您可以在此文件中找到其他已解決的練習： https : //cse.buffalo.edu/~knepley/classes/cse191/ClassNotes.pdf