當 x,y,z>0 時如何證明 (x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y>=6

Question

這個問題實際上有兩個部分。 在第一部分中，我必須證明a + 1/a >=2 。 我通過將其重新排列為(a-1)^2 >= 0來證明這一點，這始終是正確的。

所以，我認為第二個問題需要類似的方法。

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y >=6, where x,y,z>0

但我想不通。 我試過簡化它並將其分解為想法，但我一無所獲。

Answer 1

一旦你知道a + 1/a >= 2 ，第二部分就很簡單了。 定義：

a := x/z,  b := y/z,  c := y/x

現在

(x+y)/z + (y+z)/x + (x+z)/y = x/z + y/z + y/x + z/x + x/y + z/y
                            = a + b + c + 1/a + 1/c + 1/b
                           >= 2 + 2 + 2
                            = 6