Armadillo C++：线性组合与模量计算

Question

我想从矩阵中提取线性组合，但通过在模数中执行组合。

让我们考虑计算模数 5，然后我们有以下加法：

 + |  0 1 2 3 4
 --+-----------
 0 | 0 1 2 3 4
 1 | 1 2 3 4 0
 2 | 2 3 4 0 1
 3 | 3 4 0 1 2 
 4 | 4 0 1 2 3

这张表格用于乘法：

 * | 0 1 2 3 4
 --+-----------
 0 | 0 0 0 0 0
 1 | 0 1 2 3 4
 2 | 0 2 4 1 3
 3 | 0 3 1 4 2
 4 | 0 4 3 2 1

让我们举个例子：让我们考虑以下矩阵：

E = 2 1 3 2 0
    4 3 0 1 1

然后我们可以通过应用 LU 分解（ https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition ）（或高斯消除）来获得三角剖分矩阵，如下所示：

T = 1 0 0 0 0 
    2 1 0 0 0 

最后，我想提取的矩阵，它是存储线性组合的矩阵：

CL = 3 2 3 0 3
     0 1 1 3 4
     0 0 1 0 0 
     0 0 0 1 0
     0 0 0 0 1

所以基本上，算法应该如下工作：

 Input: a matrix E with n rows and m columns, and p, a prime number.

 * We perform a Gaussian elimination/LU decomposition to obtain the lower-triangulation matrix T. 
   But all the calculus are done modulo 'p'. 

 Output: T (with the same size as E, n rows m columns). 
         CL (with a size m rows, m columns), 
         which is basically the identity matrix on which we 
         applied all the modifications that were performed on E to obtain T.

---

好的，现在我们有了上下文，让我解释一下这个问题。 我开始使用犰狳库（ http://arma.sourceforge.net/ ）来做这件事，但我没有在库上找到任何解决方案来在数学领域 p 上执行微积分。 我很容易找到LU方法来获得下三角矩阵，但计算是在实数中进行的。

#include <iostream>
#include <armadillo>

using namespace arma;
using namespace std;

int main(int argc,char** argv)
{

    mat A = mat({{2,1,3,2,0},{4,3,0,1,1}});

    mat L, U, P;

    lu(L, U, P, A);

    cout << L << endl;

    return 0;
}

通过以下内容，您可以获得下三角矩阵 'L' 但在实数微积分中。 从而获得：

 T' =  1   0
       1/2 1

是否有任何技术可以以模数方式执行计算？

编辑犰狳库无法做到这一点。 我开发了自己的 LU 模数分解，但那里仍然存在错误。 我在这里问了一个新问题Linear Combination C++ in modular ，希望能解决它。

Answer 1

首先：删除using namespace ，如果这样做，代码可能会变得完全不可读。

我还没用过犰狳。 但我看过文档，对我来说似乎是模板化的。

现在事情变得有点疯狂。 您使用的类型arma::mat似乎是arma::Mat<double>上的 typedef 。

高级函数arma::lu没有正确记录。 它显然进行了 LU 分解，但我不知道该函数是否已模板化。 如果是这样，即，您不能只用double垫子调用它，也不能用其他类型调用它，您可能会使用表示字段的自定义类型（因为 5 是素数，否则您将完全丢失）的计算模 5。这意味着您编写了一个类，我们称其为IntMod5并为此类定义所有必需的运算符，即 IntMod5 使用的所有运算符。 例如，您需要定义operator/() ，例如通过制作字段的 5 个元素中的 4 个元素的倒数表（0 没有），即 1->1, 2->3, 3-> 2, 4->4, 并定义

IntMod5 operator/(const IntMod5& o) const
{
    return IntMod5((this->value*inverse(o.value))%5);
}

这只是一个示例，您可能需要定义所有算术运算符，二元和一元，可能还有更多，例如比较（LU 分解可能会使用找到好的主元元素）。 如果您很幸运，并且库的编写方式适用于任何领域，而不仅仅是浮点，那么您就有机会。

在你完成所有的工作之前，你应该使用一个简单的类来简单地包装 double 并检查arma::Mat或arma::lu执行任何类型检查阻止你。

如果其中任何一个失败，您可能必须编写自己的 LU 分解模 5 或找到另一个支持它的库。