确定算法的最坏情况复杂度

Question

有人可以向我解释一下如何确定一种算法的最坏情况下的复杂度。 我知道我们需要使用等式W（n）= max {t（I）| I D的元素），其中D是大小为n的输入集。 我是否要计算每个元素I的运算数量，然后取其最大值？ 有什么更简单的方法可以做到这一点？

Answer 1

从等式开始，对它的思考有些倒退。 您真正关心的是可伸缩性，或者说，随着输入大小的增加，它将做什么。

例如，如果只有一个循环，则有O（n）时间复杂度算法。 如果在另一个循环中有一个循环，则它变为O（n ^ 2），因为对于任何大小为n的输入，它现在必须做n ^ 2许多事情。

当您谈论最坏的情况时，通常是在谈论不确定性算法，在这种情况下，您的循环可能会过早停止。 为此，您要假设最坏的情况，并假装循环将尽可能晚地停止。 因此，如果我们有：

for（int i = 0; i <n; i ++）{for（int j = 0; j <n; j ++）{if（rand（）> .5）j = n; }}

我们可以说最坏的情况是O（n ^ 2）。 即使我们知道中间循环很可能会尽早消失，我们仍在寻找可能的最差性能。

Answer 2

该方程式更多的是定义而不是算法。

除了输入大小以外，所讨论的算法是否还关心其他任何内容？ 如果不是，则计算W（n）是“容易的”。

如果是这样，请尝试提出病理输入。 例如，使用quicksort可能很明显地是，已排序的输入是病理性的，您可以做一些计数以查看它采取了O（n ^ 2）个步骤。 那时您可以

1. 认为您的输入“最大程度”是病理性的
2. 在任何输入上展示运行时的匹配上限

＃1的示例：

每次快速排序都会将关键点放在正确的位置，然后递归到这两个部分。 （手波警报 ）最坏的情况是将阵列的其余部分放在枢轴的一侧。 排序的输入可实现此目的。

＃2的示例：

快速排序的每个遍历将关键点放置在正确的位置，因此最多只能有O（n）个遍。 每次通过不超过O（n）个工作。 因此，没有任何输入会导致快速排序的花费超过O（n ^ 2）。

在这种情况下，＃2要容易得多。