无向图的最小加权路径树

Question

假设我们有一个无向图G =（V，E）并且我们有两个节点S和X.

1. 我们能否提出一种算法，以使从S到X的路径上边缘的最大权重最小化？ 请注意，它不是最短路径算法，因为我们不希望最小化它们的总和。
2. 该算法的复杂性是什么？
3. 最小生成树算法（例如Prim）是否可以解决此问题？

Answer 1

我不知道最小生成树是否可以解决它，但是通过对Dijkstra算法进行一些修改，它肯定可以解决。

将路径的“长度”定义为该路径的最大边缘。 现在，使用Dijkstra算法找到从S到X的最短路径。 这是您要寻找的路径。 如果使用二进制堆，则复杂度为O((N+M)log N) O(N * log N + M) ，而对于Fibonacci堆，复杂度为O((N+M)log N) O(N * log N + M) 。

请注意，对于路径长度的这个新定义，如果路径的长度为l ，则在路径的末尾添加边缘不会减小其长度，因为该路径中的最大边缘只能增加。 该属性对于Dijkstra的算法正常工作是必需的。

例如，如果您正在寻找边缘最短的路径，则Dijkstra的算法将失败，就像图形中存在负边缘时失败一样。

Answer 2

您可以使用最小生成树（Prim算法）来解决此问题。 您将从顶点S开始，然后继续使用Prim的算法构建树，直到找到X为止。 复杂度将为O（（V + E）* logV）。
之所以会起作用，是因为在prim的算法中，您总是首先选择权重最小的边缘。