無向圖的最小加權路徑樹

Question

假設我們有一個無向圖G =（V，E）並且我們有兩個節點S和X.

1. 我們能否提出一種算法，以使從S到X的路徑上邊緣的最大權重最小化？ 請注意，它不是最短路徑算法，因為我們不希望最小化它們的總和。
2. 該算法的復雜性是什么？
3. 最小生成樹算法（例如Prim）是否可以解決此問題？

Answer 1

我不知道最小生成樹是否可以解決它，但是通過對Dijkstra算法進行一些修改，它肯定可以解決。

將路徑的“長度”定義為該路徑的最大邊緣。 現在，使用Dijkstra算法找到從S到X的最短路徑。 這是您要尋找的路徑。 如果使用二進制堆，則復雜度為O((N+M)log N) O(N * log N + M) ，而對於Fibonacci堆，復雜度為O((N+M)log N) O(N * log N + M) 。

請注意，對於路徑長度的這個新定義，如果路徑的長度為l ，則在路徑的末尾添加邊緣不會減小其長度，因為該路徑中的最大邊緣只能增加。 該屬性對於Dijkstra的算法正常工作是必需的。

例如，如果您正在尋找邊緣最短的路徑，則Dijkstra的算法將失敗，就像圖形中存在負邊緣時失敗一樣。

Answer 2

您可以使用最小生成樹（Prim算法）來解決此問題。 您將從頂點S開始，然后繼續使用Prim的算法構建樹，直到找到X為止。 復雜度將為O（（V + E）* logV）。
之所以會起作用，是因為在prim的算法中，您總是首先選擇權重最小的邊緣。