我不明白如何计算此算法的时间复杂度

Question

int j=0;
for (int i=0; i<N; i++) 
{
    while ( (j<N-1) && (A[i]-A[j] > D) )
        j++;
    if (A[i]-A[j] == D) 
        return 1; 
}

据说这段代码的时间复杂度为O（n），但我并没有真正得到它。 内循环执行N次，外部也应该N次？ 是因为j = 0; 在循环之外使它只运行N次？

但即使它只在内循环中运行N次，if语句检查也应该进行N次，这应该将总时间复杂度带到O（n ^ 2）？

Answer 1

这是O（n）的原因是因为在for循环的主体中j 没有被设置回0 。

实际上，如果我们看一下for循环的主体，我们会看到：

while ( (j<N-1) && (A[i]-A[j] > D) )
    j++;

这意味着j++最多完成n-1次，因为如果j成功N-1次，则第一个约束失败。

如果我们看一下整个for循环，我们会看到：

int j=0;
for (int i=0; i<N; i++) {
    while ( (j<N-1) && (A[i]-A[j] > D) )
        j++;
    if (A[i]-A[j] == D) 
        return 1;
}

很明显， for循环的主体重复n次，因为我们将i设置为i=0 ，并且当i >= N时停止，并且每次迭代我们增加i 。

现在，根据A的值，我们将在或不会在for循环体中增加j （多次）。 但无论在一次迭代中完成多少次，在for循环结束时， j++最多都会完成n次，这是我们上面提到的原因。

while循环中的条件也执行O（n） （最多精确2×n-1次）次数：每次进入for循环体时执行一次，每次执行后我们执行一次执行一个j++命令，但因为两者都是O（n） ，所以这最多是O（n + n），因此是O（n）次。

所述if条件在for循环执行n次：一次每次迭代的for循环，所以再次为O（n）。

所以这确实意味着所有“基本指令”（ j++ ， i = 0 ， j = 0 ， j < N-1等）都是以常数O（1）或线性次数完成的O（n） ，因此算法是O（n） 。