如何计算反向跟踪算法的时间复杂度

Question

使用过这个程序，如何计算回溯算法的时间复杂度？

/*
  Function to print permutations of string    This function takes three parameters:
  1. String
  2. Starting index of the string
  3. Ending index of the string.
*/ 
void swap (char *x, char *y)
{
  char temp;
  temp = *x;
  *x = *y;
  *y = temp;
}

void permute(char *a, int i, int n)
{  
  int j;

  if (i == n)
    printf("%s\n", a);
  else
  {
    for (j = i; j <= n; j++)
    {
      swap((a+i), (a+j));
      permute(a, i+1, n);
      swap((a+i), (a+j)); //backtrack
    }
  }
}

Answer 1

每个permute(a,i,n)导致ni调用permute(a,i+1,n)

因此，当i == 0 ，有n呼叫，当i == 1 ，有n-1呼叫...当i == n-1有一个呼叫。

您可以从中找到迭代次数的递归公式：
T(1) = 1 [base]; 和T(n) = n * T(n-1) [步骤]

得到总数T(n) = n * T(n-1) = n * (n-1) * T(n-2) = .... = n * (n-1) * ... * 1 = n!

编辑：[小校正]：因为for循环中的条件是j <= n [而不是j < n ]，每个permute()实际上调用n-i+1次permute(a,i+1,n)导致T（n）= (n+1) * T(n-1) [step]和T(0) = 1 [base]，后来导致T(n) = (n+1) * n * ... * 1 = (n+1)! 。
但是，它似乎是一个实现错误，而不是一个功能：

Answer 2

一个简单的直觉就是会有n！ 排列，你必须生成所有这些。 因此，您的时间复杂度至少为n！ 因为你将不得不遍历所有n！ 为了生成所有这些。 因此，时间复杂度为O（n！）。