如何計算反向跟蹤算法的時間復雜度

Question

使用過這個程序，如何計算回溯算法的時間復雜度？

/*
  Function to print permutations of string    This function takes three parameters:
  1. String
  2. Starting index of the string
  3. Ending index of the string.
*/ 
void swap (char *x, char *y)
{
  char temp;
  temp = *x;
  *x = *y;
  *y = temp;
}

void permute(char *a, int i, int n)
{  
  int j;

  if (i == n)
    printf("%s\n", a);
  else
  {
    for (j = i; j <= n; j++)
    {
      swap((a+i), (a+j));
      permute(a, i+1, n);
      swap((a+i), (a+j)); //backtrack
    }
  }
}

Answer 1

每個permute(a,i,n)導致ni調用permute(a,i+1,n)

因此，當i == 0 ，有n呼叫，當i == 1 ，有n-1呼叫...當i == n-1有一個呼叫。

您可以從中找到迭代次數的遞歸公式：
T(1) = 1 [base]; 和T(n) = n * T(n-1) [步驟]

得到總數T(n) = n * T(n-1) = n * (n-1) * T(n-2) = .... = n * (n-1) * ... * 1 = n!

編輯：[小校正]：因為for循環中的條件是j <= n [而不是j < n ]，每個permute()實際上調用n-i+1次permute(a,i+1,n)導致T（n）= (n+1) * T(n-1) [step]和T(0) = 1 [base]，后來導致T(n) = (n+1) * n * ... * 1 = (n+1)! 。
但是，它似乎是一個實現錯誤，而不是一個功能：

Answer 2

一個簡單的直覺就是會有n！ 排列，你必須生成所有這些。 因此，您的時間復雜度至少為n！ 因為你將不得不遍歷所有n！ 為了生成所有這些。 因此，時間復雜度為O（n！）。