斐波那契数和的最后一位数

Question

我试图找到斐波那契数列总和的最后一位数字。 我将总和计算为F(n+2) - 1 。 下面的代码工作正常，但对于大数字（例如99999 ）来说速度很慢。 我怎样才能优化这个？

n = int(input())

def last_digit(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n+2):
        a, b = b, a + b
    return (a-1) % 10

print(last_digit(n))

Answer 1

斐波那契数列的最后一位数以 60 为周期重复。因此，您可以将 n 项之和的计算优化为F((n+2) % 60) - 1 。 此外，为了保持在整数范围内，您可以只保留每一项的最后一位数字：

def last_digit(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range((n + 2) % 60):
        a, b = b, (a + b) % 10
    return 9 if a == 0 else a - 1

print([last_digit(n) for n in range(1, 11)])

输出：

[1, 2, 4, 7, 2, 0, 3, 4, 8, 3]

Answer 2

看看这个表： http : //www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html注意fib(60)最后一位数字是0和fib(61)最后一位数字是1 ，这与fib(0)和fib(1) ，因此从60最后一位开始重复，因此您可以计算fib(n%60)而不是fib(n)最后一位。 例如， fib(115)和fib(55)最后一位数字相同并且等于5 。

Answer 3

这是专门针对最后一位数字优化的代码：

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    r = 1
    if n < 1:
        return 0
    for i in range(n - 1):
        a, b = b, (a + b)%10
        r += b
        r %= 10
    return r

它的工作原理是仅获取下一项的最后一位数字并将其添加到结果中。 然后它获取结果的最后一位数字并将其设置为自身。 它重复直到到达术语编号并返回一位数：D

有趣的事实：在 99 上尝试上述函数。返回 0。那么 999 呢？ 0. 9999？ 0. 继续这个 :D

Answer 4

尝试使用Pisano Period 属性。 如果要计算最后一位数字，则 10 的 Pisano 周期将为 60。知道这一点，您可以使用类似于以下内容的函数：

def fibonacci_sum(n):

    pisano = 60

    if n < 2: return n

    n %= pisano

    fib_arr = [1,1]
    for _ in range(n):
        fib_arr.append((fib_arr[-1] + fib_arr[-2]) % 10)

    return (fib_arr[-1] - 1) % 10

有关更多信息，请参阅saveriogzz Github CS_Curriculum 存储库。

干杯!

Answer 5

这是一个简单的 C++ 程序

//outputs last digit of ( sum of fib number till n)
#include<iostream>
using namespace std;

int64_t fib_sum_digit(int64_t n)
{
    int fl[60] ={0};
    fl[0] = 0;
    fl[1] = 1;
   // int64_t sum60 = 1;

    for(int i = 2 ; i<60 ; i++)
    {
        fl[i] = (fl[i-1] +fl[i-2])%10 ; 
        //sum60 += fl[i]; 
    }


    int64_t sum = 0;
    // sum += (sum60*(n/60));               ///sum60%10 always  = 0 ;

    for(int i = 1; i<=(n%60); i++ )
    {
        sum += (fl[i]);
        //cout<<i<<","<<sum<<"->";         ///debug
    }

return sum%10;
}

int main()
{
    int64_t n;
    cin>>n;

    int64_t ans = fib_sum_digit(n);
    cout<<ans;

    return 0;
}