非均匀圆盘的最佳覆盖

Question

我可以使用什么样的算法来搜索具有n 个圆盘( x _j , y _j , r _j )的 XY 平面有限区域的最佳（最小面积）覆盖？

我发现了许多关于固定半径圆盘的调查，但没有关于可变半径的调查。

n是固定的，但光盘可以自由放置（它们没有在指定的位置，它们的中心不需要在区域内）。 该区域一般是非连通和非单连通的（可以由多个部分组成，可以有孔）。 在我的具体情况下由多个闭合多边形定义（使用奇偶填充规则）。

回顾一下：

输入：

• XY 平面的有限区域（例如，描述为具有奇偶填充规则的闭合多边形的集合）

• 整数n > 0

输出：

• 由中心x[i], y[i]和半径r[i]描述的n圆盘的列表，以便该区域的每个点都包含在至少一个圆盘中

最小化：

• 圆盘联合所覆盖的平面区域

例子

在这个例子中，输入是“A”形。 手动放置十个点，并计算覆盖该区域与 Voronoi 单元相交的最小圆。

我目前正在研究基于仅查找中心x[i], y[i]并使用此算法计算半径r[i] （搜索空间减少了 ℝ ⁿ并且总是产生可接受的解决方案）。

Answer 1

这真是一个很酷的问题！ 我很高兴我偶然发现了这个。 我完全意识到这已经一年多了，所以你可能不再关心它了，但我会以任何一种方式回答它，因为我喜欢谜语而且这是一个有趣的谜语（假设我的解决方案甚至有效！）。

我要做的似乎类似于 Voronoi 图建议：

1. 从问题的层次聚类解决方案开始。 它不会有最小的面积，但它会用 N 个磁盘覆盖所有内容。

   一种。 注意：我不会使用 K-means，因为 K-Means 很容易陷入局部最小值。

2. 然后，您可能可以使用梯度下降来移动磁盘的中心（损失是每个磁盘的总面积 - 计算为到该“集群”内点的混合距离）以获得更优化的解决方案。

我认为这里有一些警告，如果你有一些孤立的点，它们可能会导致一些不受欢迎的解决方案。

显然没有证据表明这行得通。 你怎么认为？ 另外，你最后用的是什么？