简化几何（或算术）级数中的递归公式

Question

我正在尝试实现一个递归函数，但是这在计算上过于费力。 我认为有某些方法可以将递归函数简化为几何（或算术）级数。

如果可以简化的话，那么我就可以对简化的公式进行编码。

我的假设情况是这样的：

我有4个候选人，每个候选人都从给定数组中连续选择一个数字。 该数组内部有8个值，选择数组中任何一个值的可能性相同（即1/8）。

因此，在时间= 0时，候选1随机选择一个数字。 如果该数字= X（例如6），则循环停止。 如果候选人1没有选择X，则转到候选人2，而候选人2随机选择一个数字。 如果该数字= X，则循环停止。 如果所有4个候选者均未选择X，则返回候选者1，然后重新开始。

给定4个人（或N = 4个连续的候选人），每个时间片有8种可能性，我正在尝试计算两种情况

1. 第一个人（例如候选人A）是第一个获得X（我指定的特定值）的概率是多少？ 同样，第二个人（例如B）成为第一个人获得X的概率是多少？

2. 人A（第一人称）命中X，然后人B命中X的概率是多少？

Answer 1

如评论中所述

Sum[(7/8)^(4i)(1/8),{i,0,Infinity}]
(*512/1695*)