为什么找到 2 个不同大小的排序数组的中位数需要 O(log(min(n,m)))

Question

请考虑这个问题：

我们有 2 个不同大小的排序数组，A[n] 和 B[m]； 我已经并实现了一个经典算法，它最多需要 O(log(min(n,m)))。

方法如下：开始将两个数组划分为两组，每组一半（不是两个部分，但两个分区应该具有相同数量的元素）。 前半部分包含来自第一个和第二个数组的一些第一个元素，后半个包含来自第一个和第二个数组的其余（或最后一个）元素。 因为数组可以有不同的大小，所以并不意味着从每个数组中取出一半。 达到一个条件，使得前半部分的每个元素都小于或等于后半部分的每个元素。

请看上面的代码：

double median(std::vector<int> V1, std::vector<int> V2) 
{
    if (V1.size() > V2.size())
    {
        V1.swap(V2);
    };
    int s1 = V1.size();
    int s2 = V2.size();
    int low = 0;
    int high = s1;
    while (low <= high) 
    {
        int px = (low + high) / 2;
        int py = (s1 + s2 + 1) / 2 - px;

        int maxLeftX = (px == 0) ? MIN : V1[px - 1];
        int minRightX = (px == s1) ? MAX : V1[px];

        int maxLeftY = (py == 0) ? MIN : V2[py - 1];
        int minRightY = (py == s2) ? MAX : V2[py];

        if (maxLeftX <= minRightY && maxLeftY <= minRightX) 
        {
            if ((s1 + s2) % 2 == 0) 
            {
                return (double(std::max(maxLeftX, maxLeftY)) + double(std::min(minRightX, minRightY)))/2;
            }
            else 
            {
                return std::max(maxLeftX, maxLeftY);
            }
        }
        else if(maxLeftX > minRightY)
        {
            high = px - 1;
        }   
        else
        {
            low = px + 1;
        }
    }
    throw;
}

尽管该方法非常简单且有效，但我仍然无法说服自己其正确性。 此外我不明白为什么它需要 O(log(min(n,m)) 步骤。

如果有人可以简要解释正确性以及为什么它需要 O(log(min(n,m))) 步骤，那将是很棒的。 即使您可以提供带有有意义解释的链接。

Answer 1

时间复杂度非常简单，您可以在元素较少的数组中进行二分搜索以找到这样的分区，这使您能够找到中位数。 您执行的步骤恰好为 O(log(#elements))，并且由于您的 #elements 恰好为 min(n, m)，因此复杂度为 O(log(min(n+m))。

正好有 (n + m)/2 个元素小于中位数，而相同数量的元素更大。 让我们将它们视为两半（让中位数属于您的选择之一）。

您当然可以将较小的数组分成两个子数组，其中一个完全位于前半部分，第二个位于另一半。 但是，您不知道其中任何一个中有多少元素。

让我们选择一些 x - 您对前半部分较小数组中元素数量的猜测。 它必须在 0 到 n 的范围内。 然后你知道，因为正好有 (n + m)/2 个元素小于中位数，你必须从更大的数组中选择 (n+m)/2 - x 个元素。 然后您必须检查该分区是否确实有效。

要检查分区是否良好，您必须检查较小一半中的所有元素是否小于较大一半中的所有元素。 您必须检查是否 maxLeftX <= minRightY 和 maxLeftY <= minRightX （然后左半部分的每个元素都小于右半部分的每个元素）

如果是这样，您就找到了正确的分区。 您现在可以轻松找到您的中位数（它是 max(maxLeftX, maxLeftY)）、min(minRightX, minRightY) 或它们的总和除以 2）。

如果不是，您要么从较小的数组中获取了太多元素（maxLeftX > minRightY 的情况），所以下次您必须猜测 x 的较小值，或者它们太少，则您必须猜测 x 的较大值。

为了获得最佳复杂度，始终猜测 x 可能采用的一系列可能值的中间值。