为什么背包问题的运行时间是 W 的 n 和 2 位数

Question

由于这篇文章，我最近开始了解伪多项式的含义。 但是，我的一个迫切问题是，为什么背包问题与动态编程一起使用时的运行时间为 并不是 . 其中 n 是考虑用于背包的物品数量，并且 这是编码 W 所需的位数和 是给定 x 位的可能状态（值）的数量。 考虑到时间复杂度的正式定义将问题的大小定义为

问题输入的大小是写出该输入所需的位数。

由于权重的位数不是固定的而是可变的，因此最多有 从 0 到 W 乘以值 n 的所有可能值的总位数或 . 话虽如此，为什么背包与动态编程配对时的运行时间为 并不是 . 我知道 但时间复杂度是指输入的大小为位数。 我做了什么假设，或者我遗漏了什么可以纠正这种脱节的知识。

Answer 1

这是与背包输入大小相关的解释。

• 项数n可以用 O(lg n ) 位表示；
• n项权重：注意每个项的权重必须≤ W （否则我们可以忽略那些权重大于W的项），我们可以使用 O(lg W ) 位表示每个项的权重，总共 O( n lg W ) 位;
• n项值：设最大值为V 。 然后，可以使用 O(lg V ) 位来表示每个项目值，总共 O( n lg V ) 位。

因此，总输入大小为 O(lg n + n (lg W +lg V )) = O( n (lg W +lg V ))。

设b = lg W和v = lg V 。 那么输入大小是O( n ( b + v ))。 现在，请注意，在动态规划解决方案 v 的 O( nW ) 运行时间中， v没有明确显示，因此运行时间为 O( nW ) = O( n2^b )。