递归 function 的时间复杂度是多少？

Question

我有一个递归 function。 我正在寻找时间复杂度是多少？ 这是 function

 public static int f7(int N){
         if (N==1) return 0;
         return 1 + f7(N/2);
   }

Answer 1

首先，我们想出这个 function 的复现：

T(1) = 1
T(n) = T(n/2) + 1

这是一个我们可以插入主定理的递归，它会给我们 Θ(log n) 作为答案。

Answer 2

假设当N=1时，调用需要a时间单位，当N是 2 的幂时，需要b个时间单位，不计算递归调用。

然后

T(1) = a
T(2^n) = T(2^(n-1)) + b.

这可以看作是一个普通的线性递归

S(0) = a
S(n) = S(n-1) + b = S(n-2) + 2b = … = S(0) + nb = a + nb,

或者

T(N) = a + Lg(N) b

其中Lg表示以 2 为底的对数。

当N不是 2 的幂时，时间与最接近的 2 的次幂相同。

所有N的精确公式是

T(N) = a + [Lg(N)] b.

括号表示地板 function。