[英]0/1 Knapsack Problem Simplified in Python
我有以下代码执行速度太慢。 这个想法类似于 0/1 背包问题,你有一个给定的整数 n,你必须找到 1 到 n - 1 范围内的数字,当平方加起来等于 n 平方。
例如,如果 n 是 5,那么它应该输出 3 , 4 因为 3 ** 2 和 4 ** 2 = (25 or 5 ** 2)。 我一直在努力理解如何提高效率,并想知道用于提高此类程序效率的概念。
其他一些示例: n = 8 [无] n = 30 [1, 3, 7, 29] n = 16 [2, 3, 5, 7, 13]
我找到了一些关于此的帖子,但它们似乎仅限于两个数字,因为我的程序需要使用与原始数字相加所需的数量。
我看了一些关于 0/1 背包问题的视频。 我努力将相同的概念应用到我自己的程序中,因为问题完全不同。 他们有可以放在包里的东西,这些东西有重量和利润。
这一切都伤害了我的大脑几个小时,如果有人能指出我正确的方向,我将不胜感激,谢谢:)
from math import sqrt
def decompose(n):
lst = []
sets = []
temp = []
perm = {}
out = []
for i in range (n):
lst.append(i**2)
for i in lst:
for x in sets:
temp.append(i + x)
perm[i + x] = (i, x)
for x in temp:
if x not in sets:
sets.append(x)
if i not in sets:
sets.append(i)
temp = []
if n**2 not in perm.keys():
return None
for i in perm[n**2]:
if str(i).isdigit():
out.append(i)
if i == ' ':
out.append(i)
for i in out:
if i not in lst:
out.remove(i)
for i in perm[i]:
if str(i).isdigit():
out.append(i)
if i == ' ':
out.append(i)
out.sort()
return [sqrt(i) for i in out]
这对于评论来说太大了,所以我把它放在这里作为答案:
这正是 0/1 背包或“硬币找零问题”(en.wikipedia.org/wiki/Change-making_problem)。 你的目标是赚 25 美分(如果 n = 5)。 你的“硬币”是 1 美分、4 美分、9 美分、16 美分等。我假设,既然你在看 0/1 背包,你不能重复使用相同的硬币(如果你可以重复使用相同的硬币,问题就简单多了)。
像这样的动态规划问题有两种方法。 它们都以自己的方式直观,但目前对您来说可能更直观。
第一个是记忆化(称为自上而下)。 这是您为decompose
编写递归函数的地方,但是您缓存了对decompose
的每次调用的结果。 这里的递归公式类似于
decompose_cache = dictionary that stores results of calls to decompose
def decompose(n = 25, coins_to_use={1,4,9,16}):
if (n, coins_to_use) in decompose_cache:
return decompose_cache[(n, coins_to_use)]
biggest_coin = max(coins_to_use)
other_coins = coins_to_use - {biggest_coin}
decomposition_with_biggest_coin = decompose(n-biggest_coin, other_coins)
decomposition_without_biggest_coin = decompose(n, other_coins)
ans = decomposition_with_biggest_coin or decomposition_without_biggest_coin
decompose_cache[(n, coins_to_use)] = ans
return ans
print(decompose(25, {1,4,9,16}))
也就是说,要确定我们是否可以使用 {1,4,9,16} 赚 25 美分,我们只需要检查我们是否可以使用 {1,4,9} 赚 25 美分,或者我们是否可以赚 9 美分(25 - 16) 使用 {1,4,9}。 这个递归定义,如果我们不缓存每次调用的结果,会导致类似O(n^n)
函数调用的结果,但由于我们缓存结果,我们只对某些(目标,硬币)对进行计算最多一次。 有 n^2 个可能的目标,以及 n 组可能的硬币,因此有 n^2 * n 对,因此有O(n^2 * n = n^3)
函数调用。
第二种方法是动态规划(称为自底向上)。 (我个人认为这更容易思考,并且您不会在python中遇到最大递归深度问题)
这是您填充表格的地方,从空的基本情况开始,表格中条目的值可以通过查看已填充条目的值来计算。 我们可以称表为“DP”。
在这里,我们可以构建一个表,其中 DP[n][k] 为真,如果您可以仅使用前 k 个“硬币”(其中第一个硬币为 1,第二个硬币为 4 等)求和为 n 的值)。
我们可以计算表格中某个单元格的值的方法是:
DP[n][k] = DP[n - kth coin][k-1] OR DP[n][k-1]
逻辑与上面相同:我们可以用硬币 {1,4}(前两个硬币)找零 5 美分当且仅当我们可以使用 {1} 找零 1 美分(5-4) (第一枚硬币)或者我们是否可以使用 {1} 找零 5 美分。 因此,DP[5][2] = DP[1][1] 或 DP[5][1]。 同样,该表有 n^3 个条目。 您可以从 [0][0] 到 [0][5] 逐行填写,然后从 [0][...] 到 [25][...] 的每一行填写,答案将在 [25] [5] 中。
这是一个递归程序来找到分解。 速度可能不是最佳的。 当然,它不是搜索大范围输入的最佳方法,因为当前的方法不缓存中间结果。
在这个版本的函数find_decomposition(n, k, uptonow, used)
尝试仅使用从k
到n-1
的数字来找到n
2的分解,而我们已经使用了used
数字集,这些数字给出uptonow
的部分总和。 该函数递归地尝试两种可能性:解决方案包括k
本身,或者不包括k
。 首先尝试一种可能性,如果有效,则返回它。 如果没有,请尝试其他方式。 因此,首先尝试不使用k
的解决方案。 如果它不起作用,请进行快速测试以查看仅使用k
是否可以提供解决方案。 如果这还没有发挥出来,递归尝试一个解决方案,使用k
,因此,对于该组used
数字现在还包括k
对于其总和uptonow
需求将增加k
2。
可以想到许多变体:
k
可以以相反的顺序运行,而不是从1
运行到n-1
。 小心 if 测试的测试条件。k
,开始尝试一种解决方案,它包括k
。 请注意,对于较大的n
,该函数可能会遇到最大递归深度。 例如,当n=1000
,大约有2
999 个可能的数字子集需要递归检查。 这可能导致 999 级深度的递归,这在某些时候对于 Python 解释器来说太多了。
可能首先使用大量数字的方法可能是有益的,因为它可以迅速减少要填补的空白。 幸运的是,对于大量存在许多可能的解决方案,因此可以快速找到解决方案。 请注意,在@Kevin Wang 描述的一般背包问题中,如果不存在解决方案,则任何具有 999 个数字的方法都需要很长时间才能完成。
def find_decomposition(n, k=1, uptonow=0, used=[]):
# first try without k
if k < n-1:
decomp = find_decomposition(n, k+1, uptonow, used)
if decomp is not None:
return decomp
# now try including k
used_with_k = used + [k]
if uptonow + k * k == n * n:
return used_with_k
elif k < n-1 and uptonow + k * k + (k+1)*(k+1) <= n * n:
# no need to try k if k doesn't fit together with at least one higher number
return find_decomposition(n, k+1, uptonow+k*k, used_with_k)
return None
for n in range(5,1001):
print(n, find_decomposition(n))
输出:
5 [3, 4]
6 None
7 [2, 3, 6]
8 None
9 [2, 4, 5, 6]
10 [6, 8]
11 [2, 6, 9]
12 [1, 2, 3, 7, 9]
13 [5, 12]
14 [4, 6, 12]
15 [9, 12]
16 [3, 4, 5, 6, 7, 11]
...
PS:此链接包含有关相关问题的代码,但方块可以重复: https : //www.geeksforgeeks.org/minimum-number-of-squares-whose-sum-equals-to-given-number-n/
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