在 Python 中实现差分（非差分）方程

Question

我正在尝试在 Python 中实现一个差分方程。 这些采用 y _n+1 = a * y _n + b 的形式，给定 y ₀ ，其中 y ₀是初始值并且它进行迭代——意思是

y ₁ = a * y ₀ + b，
y ₂ = a * y ₁ + b，
...

一个示例问题（来自我的微积分课）是这样的：假设您贷款 60,000 美元，并计划以 1.2% 的利率每月偿还 700 美元。 5年后还剩多少？ 这将被设置为 y _n+1 = 1.1 * y _n - 700, y ₀ = 60,000

我理解 Python 中的递归，你可以说，例如，

i = 0
while i < 20:
    i = i+1

但是当下一次迭代需要前一次的值时，我不确定如何处理它。

Answer 1

def calc1():
    S=60000
    x=0.012
    y=5*12
    Pmt=700
    r=1+(x/12)
    Ln = S
    for k in range(1, y+1):
         Ln=(Ln*r)-Pmt
    print (Ln)

结果：20444.98 美元

或者使用代数定义几何级数和

Ln= S * r ^y - Pmt * ((1-r ^y ) / (1-r)) = $20444.98

抱歉，MathJax 不支持 Stackoverflow。

Answer 2

通常，您可以通过将计算中的最后一个值存储在一个变量中，并用您的起始值作为种子来实现。 例如：

y = 60000
while True:
    y = .1 * y - 700

当然，您必须确定何时停止以及如何处理这些值。 你当然想打印它们：

y = 60000
while True:
    y = .1 * y - 700
    print(y)

但你可能只想做 100 次或其他事情而不是永远：

y = 60000
for i in range(12*5):
    y = .1 * y - 700
    print("%d: %f" % (i,y))

您可能还想存储它们以备后用，因此将它们放入数组中：

y = 60000
results=[]
for i in range(12*5):
    y = .1 * y - 700
    results.append(y)

print(results)

Answer 3

您的任务的常规循环如下所示：

loan = 60000
annualinterest = 1.2/100
monthlyinterest = annualinterest/12
monthlyfactor = 1+monthlyinterest
monthlypackback = 700

for month in range(5*12):
    loan = loan * monthlyfactor - monthlypackback
    print(month+1, "{0:.2f}".format(loan))

请注意，可能会出于多种原因讨论monthlyinterest ，这些原因并非特定于编程：

a) 可能取决于计算利息的时间，即每月的哪一天。 这可能是在付款之前或之后。

b) 将年利率除以 12 对银行更好。 它也可以计算为 1.012 的 12 次方根。

现在，上面是一个直接的循环。 它与递归无关。 但它可以转换为递归调用：

def recursive(loan, annualinterestPercentage, monthlyPayback, months):
    if months == 0:
        return loan
    annualinterest = annualinterestPercentage / 100
    monthlyinterest = annualinterest / 12
    monthlyfactor = 1 + monthlyinterest
    return recursive(loan * monthlyfactor - monthlyPayback, annualinterestPercentage, monthlyPayback, months - 1)

关键是：

a) 递归调用需要退出条件。 我一开始就说对了。 这里的退出条件是剩余月份数达到 0 时。

b) 函数recursive()调用自身，希望带有一个接近退出条件的参数。 这是第month-1 。

你这样称呼它：

print(recursive(60000, 1.2, 700, 60))

Answer 4

代码

按照您的要求使用递归：

def loan_calculator(y, payments, interest, monthly, period, counter=0, amount_left=[]):
  # y -> starting loan (60,000) 
  # payments -> paying $700/month
  # interest -> Interest rate on loan (yearly)
  # monthly -> boolean, if monthly or yearly
  # period -> how many years
  # counter -> number of payments made
  # amount_left -> after each payment how much is left to pay

  if monthly:
    period *= 12
    interest /= (12*100)

  # stopping condition:
  if counter == period:
    return y, amount_left
  else:
    y = (1+interest)*y - payments
    amount_left.append(y)
    counter += 1
    return loan_calculator(y, 700, 1.2, True, 5, counter)

final_payment, all_payments = loan_calculator(6e4, 700, 1.2, True, 5)
print(all_payments)
print(final_payment)

输出

[59359.99999999999, 58719.359999999986, 58078.07935999998, 57436.15743935997, 56793.59359679933, 5615
0.38719039612, 55506.53757758651, 54862.04411516409, 54216.90615927925, 53571.12306543852, 52924.6941
88503956, 52277.618882692455, 51629.896501575146, 50981.52639807671, 50332.50792447478, 49682.8404323
9925, 49032.52327283165, 48381.555796104476, 47729.937351900575, 47077.66728925247, 46424.74495654172
, 45771.16970149826, 45116.94087119975, 44462.05781207095, 43806.51986988301, 43150.32638975289, 4249
3.476716142635, 41835.970192858775, 41177.80616305163, 40518.98396921468, 39859.50295318389, 39199.36
245613707, 38538.561818593196, 37877.100380411786, 37214.97748079219, 36552.192458272984, 35888.74465
0731256, 35224.633395381985, 34559.858028777366, 33894.41788680614, 33228.31230469295, 32561.54061699
7634, 31894.102157614627, 31225.996259772237, 30557.222256032004, 29887.779478288034, 29217.667257766
32, 28546.884925024082, 27875.431809949103, 27203.30724175905, 26530.510549000803, 25857.0410595498, 
25182.898100609345, 24508.080998709953, 23832.58907970866, 23156.421668788367, 22479.578090457155, 21
802.057668547608, 21123.859726216153, 20444.983585942366] # This is a list of payments you owe each month                                           
20444.983585942366 # This is your final payment