Python - 使用递归计算总可能性

Question

我试图找到如何在 90 个盒子中放置 90 个苹果的全部可能性。 任何数量的苹果都可以放在一个盒子里（0 到 90 个苹果），但所有的苹果都必须放在盒子里。 我使用了递归，但完成计算花费了太多时间。 我只能用少量的苹果和盒子来测试我的代码。 任何人都可以帮助我降低代码的时间复杂度吗？ 提前致谢。

import math

boxes = 3
apples = 3

def possibilities(apples, boxes):
    if apples == 0:
        return 1
    if boxes == 0:
        return 0
    start_point = 0 if boxes > 1 else math.floor(apples/boxes)

    p = 0
    for n in range(start_point, apples+1):
        p += possibilities(apples-n, boxes-1)
    return p

t = possibilities(apples,boxes)
print(t)

Answer 1

在我看来，问题在于找到总和等于 90 的最多 90 个元素的排序列表的数量。

有一个与此非常接近的概念，我们称之为数字的分区。

例如，4 的分区是[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1] 。

经过一番研究，我发现这篇文章与您的问题有关。

正如在那里解释的那样，递归方法会导致大量的计算时间很长，但是......

一种更有效的方法是通过称为动态编程的方法。 这里我们计算一个函数 psum(n,k)，它是具有最大分量 k 或更小的 n 分区的总数。 在任何给定的阶段，我们都会为某个固定 k 计算 psum(1,k)、psum(2,k)、psum(3,k)、...、psum(n,k) 的值。 给定这个包含 n 个值的向量，我们计算 k+1 的值如下：

• psum(i,k+1) = psum(i,k) + p(i,k) 对于任何值 i

• 但是回想一下 p(i,k) = Σj p(ik,j) = psum(ik,k)

• 所以 psum(i,k+1) = psum(i,k) + psum(ik,k)

因此，稍加注意，我们可以重用值向量，并在滚动值中计算 psum(i,k) 的值，以获得连续更大的 k 值。 最后，我们有一个向量，其值为 psum(i,n)。 值 psum(n,n) 是期望值 p(n)。 作为额外的好处，我们看到我们同时计算了 p(1), p(2), ..., p(n) 的值。

基本上，如果您将中间值保留在列表中并使用文章中提供的循环，

psum(i,k+1) = psum(i,k) + psum(ik,k)

您可以使用以下功能：

def partitionp(n):
    partpsum = [1] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(i, n + 1):
            partpsum[j] += partpsum[j - i]
    return partpsum[n]

在外部 for 循环的每次迭代中，列表partpsum包含所有值 psum(1,k), psum(2,k), psum(3,k), ..., psum(n,k)。 在迭代结束时，您只需要返回 psum(n,n)。