求和的递归实现的空间和时间复杂度 function

Question

谁能建议以下代码的空间和时间复杂度？ 我知道时间复杂度应该是 O(n) 因为 function 被调用 n 次，空间复杂度至少是 O(n) （因为堆栈空间），但是将 a[1:] 传递给 function 会导致空间复杂度增加？ 我认为 a[1:] 会在省略第一个元素的同时创建一个新的副本，对吗？

def sum(a):
    if len(a) == 1:
        return a[0]
    return a[0] + sum(a[1:])

Answer 1

时间复杂度类似于 theta(n^2) ，因为每次执行 a[i:] 时，基本上都会将列表从 i 复制到末尾，因此您必须遍历它。 至于空间复杂度，应用程序堆栈将包含您将调用的所有列表，首先是一个包含 n 个元素的列表，然后是 n-1，依此类推，直到 1，您将开始清空堆栈。 所以你最终也会得到一个 theta(n^2) 复杂度。

Answer 2

作为一个递归的 function，如果没有应用尾调用优化，考虑到它在 memory 堆栈上的执行，在这种情况下肯定会有至少O(n)的空间复杂度。 但是让我们进一步分析一下：

时间复杂度

我们知道 sum 是递归的，它的停止条件是输入数组为单长度时。 所以我们知道Sum在最坏的情况下至少会被调用O(n)次，考虑到一个大小为n的输入数组。 考虑一下它的递归，即循环。

然而，在 function 内部，我们有一个切片操作。 切片操作l[a:b]为O(ba) ，因此此操作在第一次运行时的复杂度为O(n-1) ，在第二次运行时复杂度为 O( O(n-2) ，依此类推。 我们最初认为，它将执行整个数组的副本。 这个 function 的整体时间复杂度应该是O(n^2)因为它在大小为n的数组中为每个项目创建一个切片。

空间复杂度

现在讨论 memory 中的空间。

len(a) == 1

这里我们有一份来自 len(a) 的返回值的副本。

return a[0]

&

    return a[0] + sum(a[1:])

在上面的两行中，我们将有一个值的另一个副本，它将存储到 function 的返回地址中。 该切片还具有O(n)空间复杂度。

看到这一点，并考虑到编译器没有应用重大优化优化，例如减少，我们说这个 function 的空间复杂度为O(n) ，因为它将为每个输入生成恒定数量的副本并且将在大小为n的数组中执行切片操作。

由于我们一开始说过递归就像一个循环，考虑到没有尾调用优化，整个 function 在最坏的情况下将执行n次。 该程序将增加函数的 memory 堆栈，直到它达到停止条件，直到它最终可以从调用堆栈中“弹出”返回值。 因此，总空间复杂度也是O(n*log n) （因为每次执行输入数组都更小）。

附言：

根据这个，我还认为len(a)具有O(1)时间复杂度。