O(n + log(m)) 可以简化吗？

Question

据我了解，不同的变量是分开处理的（但我可能错了）。

我知道 O(n + log(n)) 简化为 O(n)，而 O(n + m) 不能简化，但是 O(n + log(m)) 呢？

谢谢你提供的所有帮助！

Answer 1

大 O 是渐近的，所以如果你有条件 fe m <= 2*n 你可以简化它。 但没有这样的条件你不能。

Answer 2

我认为，

如果 m <= n^2 则 O(n+log(m)) 简化为 O(n)

这是以 2 为底的对数。现在举个例子，让 n = 8，现在取 m = 8^2 = 64 和 log(64) = 6 < 8，所以复杂度为 O(n)。 如果 m = 8^3 = 512, log(512) = 9 > n，那么复杂度将为 O(log(m))

如果 n 和 m 之间没有关系，则不能简化 O(n + log(n))。

Answer 3

一般来说，如果你有任何 O(f(n, m)) 形式的大 O，其中 m 和 n 是自由和自变量，那么就没有一种简化表达式的好方法。 这意味着，比如说，O(m + n)、O(m log n)、O(log _m+n n)、O(m ¹³⁷ + 2 ⁿ ) 等不能用更简单的方式重写function 完全取决于 m 或 n。 这样做的原因是，大 O 表示法衡量了一些数量如何在输入的“足够大”值下增长，如果 m 和 n 彼此不相关，则 m 和 n 中的每一个都可以独立地“足够大”增长彼此的。

但是，在某些情况下，m 和 n 之间存在某种已知的关系。 例如，在图算法中，通常假设 m（边数）在 n-1 和 n ²之间，表示图最小连接且图具有最大可能边数的情况。 在这些情况下，您有时确实会看到一些简化。 例如，如果 m 和 n 之间的关系成立，那么您通常会看到 O(log n) 而不是 O(log m)，因为在这种情况下 log (n-1) ≤ m ≤ 2 log n。 然而，即使那样，用 n ²替换 m 也是不常见的，因为密集图和稀疏图是不同的情况，并且可以通过更精确的运行时分析更好地预测运行时。

希望这可以帮助！