寻找从射线到 3D 贝塞尔曲线的距离

Question

我想知道是否有人知道如何找到从 3D 线段或射线到 3D 三次贝塞尔曲线的最小距离，或者 Unity 游戏引擎中是否内置了任何东西。

Answer 1

计算将射线基点变换为(0,0,0)方向变为OX的仿射变换

如果射线由基点(rx0, ry0, rz0)和方向向量(dx, dy, dz)定义，长度为len （1 表示归一化），则此变换的矩阵为：

• 移位(-rx0, -ry0, -rz0) -
• 然后通过atan2(ry, rx)绕OZ轴旋转
• 然后通过acos(dz / len)绕OY轴旋转

将此变换应用于贝塞尔曲线控制点

使用 zer0derivative 方法计算从曲线到OX轴的最小距离（对于函数的最大值和最小值，导数为零）：

写出取决于t的平方距离表达式：

SquaredDist(t) = by'(t)^2  + bz'(t)^2

通过dt计算SquaredDist的导数，建立方程

SquaredDist' = 0

并针对t解决它。

方程是五阶多项式方程，所以没有解析，只有数值解（或细分方法）。

以0..1间隔检查根，还分别检查贝塞尔曲线末端和射线起点距离。