尋找從射線到 3D 貝塞爾曲線的距離

Question

我想知道是否有人知道如何找到從 3D 線段或射線到 3D 三次貝塞爾曲線的最小距離，或者 Unity 游戲引擎中是否內置了任何東西。

Answer 1

計算將射線基點變換為(0,0,0)方向變為OX的仿射變換

如果射線由基點(rx0, ry0, rz0)和方向向量(dx, dy, dz)定義，長度為len （1 表示歸一化），則此變換的矩陣為：

• 移位(-rx0, -ry0, -rz0) -
• 然后通過atan2(ry, rx)繞OZ軸旋轉
• 然后通過acos(dz / len)繞OY軸旋轉

將此變換應用於貝塞爾曲線控制點

使用 zer0derivative 方法計算從曲線到OX軸的最小距離（對於函數的最大值和最小值，導數為零）：

寫出取決於t的平方距離表達式：

SquaredDist(t) = by'(t)^2  + bz'(t)^2

通過dt計算SquaredDist的導數，建立方程

SquaredDist' = 0

並針對t解決它。

方程是五階多項式方程，所以沒有解析，只有數值解（或細分方法）。

以0..1間隔檢查根，還分別檢查貝塞爾曲線末端和射線起點距離。