最小化和差的绝对值

Question

我有一个包含 N 个元素的数组（N 是偶数）： [2, 4, 8, ..., 2^N] 。 我需要将它拆分为2 arrays，每个都有N/2元素，并获得此 arrays 之和之间的差的最小绝对值。

对于2, 4, 8, 16答案是(2+16)-(4+8)=6 。 谁能向我解释解决这个问题的数学方面（没有蛮力）？ 如果原始数组是range[1, N] ，解决方案是否相同？

Answer 1

它看起来相当微不足道，因为2^N > sum(2..2^(N-1) 。因此，为了最小化差异，你想把2^(N/2)+..._2^(N-1)在与2^N不同的集合中。

Answer 2

如果原始数组是 range[1, N]，解决方案是否相同？

在数组1, 2, ... N的情况下，答案是0或1 ，具体取决于N mod 4 。

• 如果N = 4k ，则最小差异为0并且（例如）通过分区获得：

   1 3 5... (2k - 1) (2k + 2) (2k + 4)... 4k 2 4 6... 2k (2k + 1) (2k + 3) (2k + 5)... (4k - 1)

• 如果N = 4k + 2则最小差异为1并且（例如）通过分区获得：

   1 3 5... (2k + 1) (2k + 4) (2k + 6)... (4k + 2) 2 4 6... (2k + 2) (2k + 3) (2k + 5)... (4k + 1)

任意数组的一般情况被称为具有相等大小约束的分区问题，被证明是弱 NP 完全的。