寻找函数的上界

Question

示例 3 找到 f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 的上限

解：n^4 + 100n^2 + 50 ≤ 2n^4，对于所有 n ≥ 11 ∴ n^4 + 100n^2 + 50 = O(n^4 ) 且 c = 2 且 n0 = 11

在上面的问题中，解决方案说 n>11 并且 n-nought 是 11。谁能解释为什么是 11？ 供参考 - 这是 Narasimha Karumanchi 的 Data Structures and Algorithms Made Easy 中的一个问题

Answer 1

它不是说n>11而是说n4 + 100n2 + 50 ≤ 2n4 ，对于所有n ≥ 11 。

这是真的吗？ 您可以将公式中的n替换为11并自行检查。

11是怎么获得的？ 通过解决不等式。

Answer 2

它不是找到函数的上限。 它是对具有大 O 符号的函数的渐近分析。 因此，常数c = 11对分析无关紧要，如果您能证明不等式对所有大于任何常数的n均有效，例如c = 100 ，则将被接受。 顺便说一下，您可以通过数学归纳法证明对于所有n > 11都是正确的。

Answer 3

f(n) = n^4 + 100n^2 + 50

直观上， n^4增长非常快； n^2增长速度不如n^4 ； 而50根本没有增长。

但是，对于较小的n值， n^4 < 50 ； 此外， n^2项前面有一个因子 100。 由于这个因素，对于较小的n值，n^4 < 100 n^2。

但是因为我们直觉n^4比n^2增长得快得多，所以我们预计，对于足够大的 n， 100 n^2 + 50 < n^4 。

为了断言和证明这一说法，我们需要更精确地了解“for n enough”的含义。 你的教科书找到了一个准确的值； 他们声称：对于 n ≥ 11, 100 n^2 + 50 < n^4 。

他们是怎么发现的？ 也许他们解决了n的不等式。 或者也许他们只是通过注意到以下几点来直觉它：

100 n^2 = 10 * 10 * n * n`
    n^4 =  n * n  * n * n

因此，一旦 n 大于 10， n^4将是两者中较大的一个。

总之：只要 n ≥ 11， f(n) < 2 n^4 。 因此， f(n) 满足f(n) = O(n^4)的教科书定义。