在不引入循环和/或新顶点的情况下向有向无环图添加边

Question

考虑我们有一个有向Graph G = (V, E) 。 假设|V| ≥ 5. |V| ≥ 5.是否可以加|V| 在不引入循环（并且不引入新顶点）的情况下将边指向G ？ 这怎么可能，正式的证明会是什么样子？ 有类似的问题，但没有一个有这种情况（图形是严格有向的，不能添加顶点）据我所见。

先感谢您。

Answer 1

DAG 节点可以进行拓扑排序，这意味着对于每个弧 (a,b)，节点 a 在排序中位于节点 b 的左侧。

做你想做的一种方法是首先对 DAG 进行拓扑排序。 假设它总共有 n 个节点。 排序后，位置 i 的节点后面将有 ni-1 个节点。 如果对于任何 i，节点在 i 处的出度 < ni-1，则可以添加弧。

现在，如果您确定您有一个 DAG，并且想知道可以添加多少条弧并且仍然保留 DAG 属性，但您不需要识别它们，那么您可以更快地做到这一点。 请注意，在完整的 DAG（具有所有可能的弧的 DAG）中，在拓扑排序之后，出度将为 [n-1, n-2, ..., 1, 0]，它们的总和将为 n*(n+ 1)/2。

求弧数 == 入度总和 == 出度总和。 如果这小于 n*(n+1)/2，则不同之处在于您可以添加到 DAG 的弧数，同时将其保持为 DAG。