生成与现有变量具有预定义相关性的二元变量

Question

对于模拟研究，我想生成一组随机变量（连续变量和二进制变量），这些变量具有与已经存在的二进制变量的预定义关联，此处表示为x 。

对于这篇文章，假设x是按照下面的代码生成的。 但请记住：在现实生活中， x是一个已经存在的变量。

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)

我想生成一个二进制变量和一个连续变量。 我已经想出了如何生成一个连续变量（见下面的代码）

set.seed(1245)

cor <- 0.8 #Correlation 
y <- rnorm(1000, cor*x, sqrt(1-cor^2))

但是我找不到生成与现有变量x相关的二进制变量的方法。 我发现了几个 R 包，例如可以生成具有给定依赖结构的随机变量的copula 。 但是，它们不提供生成对现有变量具有集合依赖性的变量的可能性。

有谁知道如何以有效的方式做到这一点？

谢谢！

Answer 1

如果我们看一下相关性的公式：

对于新的向量 y，如果我们保留均值，问题就更容易解决。 这意味着我们复制向量x并尝试翻转相同数量的 1 和 0 以实现预期的相关值。

如果我们让E(X) = E(Y) = x_bar和E(XY) = xy_bar ，那么对于给定的 rho，我们将上述简化为：

(xy_bar - x_bar^2) / (x_bar - x_bar^2) =  rho

解决，我们得到：

xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2

我们可以推导出一个 function 来翻转多个 1 和 0 得到结果：

create_vector = function(x,rho){

  n = length(x)
  x_bar = mean(x)
  xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2
  toflip = sum(x == 1) - round(n * xy_bar)

  y = x
  y[sample(which(x==0),toflip)] = 1
  y[sample(which(x==1),toflip)] = 0
  return(y)
}

对于您的示例，它有效：

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)
cor(x,create_vector(x,0.8))
[1] 0.7986037

有一些预期的 rho 和 p 的极端组合可能会遇到问题，例如：

set.seed(111)

res = lapply(1:1000,function(i){
             
              this_rho = runif(1)
              this_p = runif(1)
              x = rbinom(1000,1,this_p)
              data.frame(
                intended_rho = this_rho,
                p = this_p,
                resulting_cor = cor(x,create_vector(x,this_rho))
              )
           })

res = do.call(rbind,res)

ggplot(res,aes(x=intended_rho,y=resulting_cor,col=p)) + geom_point()

Answer 2

这是一个二项式 - q的公式仅取决于x的平均值和您想要的相关性。

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- 1/((1-p)/cor^2+p)
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y
cor(x,z)
#> [1] 0.7984781

这不是这样做的唯一方法 - 请注意，在此构造中， mean(z)始终小于mean(x) 。

连续变量的定义更不明确——你真的不关心它的均值/方差，或者其他关于它的分布吗？

这是另一个简单的版本，它以两种方式翻转变量：

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- (1+cor/sqrt(1-(2*p-1)^2*(1-cor^2)))/2
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y+(1-x)*(1-y)
cor(x,z)
#> [1] 0.8001219
mean(z)
#> [1] 0.57908