生成與現有變量具有預定義相關性的二元變量

Question

對於模擬研究，我想生成一組隨機變量（連續變量和二進制變量），這些變量具有與已經存在的二進制變量的預定義關聯，此處表示為x 。

對於這篇文章，假設x是按照下面的代碼生成的。 但請記住：在現實生活中， x是一個已經存在的變量。

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)

我想生成一個二進制變量和一個連續變量。 我已經想出了如何生成一個連續變量（見下面的代碼）

set.seed(1245)

cor <- 0.8 #Correlation 
y <- rnorm(1000, cor*x, sqrt(1-cor^2))

但是我找不到生成與現有變量x相關的二進制變量的方法。 我發現了幾個 R 包，例如可以生成具有給定依賴結構的隨機變量的copula 。 但是，它們不提供生成對現有變量具有集合依賴性的變量的可能性。

有誰知道如何以有效的方式做到這一點？

謝謝！

Answer 1

如果我們看一下相關性的公式：

對於新的向量 y，如果我們保留均值，問題就更容易解決。 這意味着我們復制向量x並嘗試翻轉相同數量的 1 和 0 以實現預期的相關值。

如果我們讓E(X) = E(Y) = x_bar和E(XY) = xy_bar ，那么對於給定的 rho，我們將上述簡化為：

(xy_bar - x_bar^2) / (x_bar - x_bar^2) =  rho

解決，我們得到：

xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2

我們可以推導出一個 function 來翻轉多個 1 和 0 得到結果：

create_vector = function(x,rho){

  n = length(x)
  x_bar = mean(x)
  xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2
  toflip = sum(x == 1) - round(n * xy_bar)

  y = x
  y[sample(which(x==0),toflip)] = 1
  y[sample(which(x==1),toflip)] = 0
  return(y)
}

對於您的示例，它有效：

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)
cor(x,create_vector(x,0.8))
[1] 0.7986037

有一些預期的 rho 和 p 的極端組合可能會遇到問題，例如：

set.seed(111)

res = lapply(1:1000,function(i){
             
              this_rho = runif(1)
              this_p = runif(1)
              x = rbinom(1000,1,this_p)
              data.frame(
                intended_rho = this_rho,
                p = this_p,
                resulting_cor = cor(x,create_vector(x,this_rho))
              )
           })

res = do.call(rbind,res)

ggplot(res,aes(x=intended_rho,y=resulting_cor,col=p)) + geom_point()

Answer 2

這是一個二項式 - q的公式僅取決於x的平均值和您想要的相關性。

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- 1/((1-p)/cor^2+p)
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y
cor(x,z)
#> [1] 0.7984781

這不是這樣做的唯一方法 - 請注意，在此構造中， mean(z)始終小於mean(x) 。

連續變量的定義更不明確——你真的不關心它的均值/方差，或者其他關於它的分布嗎？

這是另一個簡單的版本，它以兩種方式翻轉變量：

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- (1+cor/sqrt(1-(2*p-1)^2*(1-cor^2)))/2
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y+(1-x)*(1-y)
cor(x,z)
#> [1] 0.8001219
mean(z)
#> [1] 0.57908