找到三个最近的点，三角形包含球体上的给定点

Question

我有一个 3D 球体，其表面有点。 这些点以球面坐标表示，因此方位角、仰角和 r。

例如，我的数据集是一个矩阵，其中包含给定球体上的所有可用点：

  azimuth       elevation     r
[[  0.          90.           1.47      ]
 [  0.          85.2073787    1.47      ]
 [  0.          78.16966379   1.47      ]
 [  0.          70.30452954   1.47      ]
 [  0.          62.0367492    1.47      ]
 [  0.          53.56289304   1.47      ]
 [  0.          45.           1.47      ]
 [  0.          36.43710696   1.47      ]
 [  0.          27.9632508    1.47      ]
 [  0.          19.69547046   1.47      ]
 [  0.          11.83033621   1.47      ]
 [  0.           4.7926213    1.47      ]
 [  0.           0.           1.47      ]
 [  0.          -4.7926213    1.47      ]
 [  0.         -11.83033621   1.47      ]
 [  0.         -19.69547046   1.47      ]
 [  0.         -27.9632508    1.47      ]
 [  0.         -36.43710696   1.47      ]
 [  0.         -45.           1.47      ]
 [  0.         -53.56289304   1.47      ]
 [  0.         -62.0367492    1.47      ]
 [  0.         -70.30452954   1.47      ]
 [  0.         -78.16966379   1.47      ]
 [  0.         -85.2073787    1.47      ]
 [  0.         -90.           1.47      ]
 [  1.64008341  -1.6394119    1.47      ]
 [  1.64008341   1.6394119    1.47      ]
 [  2.37160039   8.01881788   1.47      ]
 [  2.37160039  -8.01881788   1.47      ]
 [  2.80356493 -15.58649429   1.47      ]
 [  2.80356493  15.58649429   1.47      ]
 [  3.16999007  23.70233802   1.47      ]
 [  3.16999007 -23.70233802   1.47      ]
 [  3.56208248 -32.09871039   1.47      ]
 [  3.56208248  32.09871039   1.47      ]
 [  4.04606896  40.63141594   1.47      ]
 [  4.04606896 -40.63141594   1.47      ]
 [  4.1063771   -4.09587122   1.47      ]
ecc...

注意：我故意省略了完整的数据矩阵，因为它包含相当多的数据。 如果需要/要求使问题完全可重现，我将提供完整数据。

这个矩阵代表这样的图像：

给定一个任意点，我想计算数据集中“包含”输入点的 3 个最近点。

到目前为止，我的代码如下：

def compute_three_closest_positions(self, azimuth_angle, elevation):
    requested_position = np.array([azimuth_angle, elevation, 0])

    # computing the absolute difference between the requested angles and the available one in the dataset
    result = abs(self.sourcePositions - requested_position) #subtracting between dataset and requested point
    result = np.delete(result, 2, 1) # removing the r data 
    result = result.sum(axis=1) #summing the overall difference for each point

    # returning index of the closest points
    indexes = result.argsort()[:3] 

    closest_points = self.sourcePositions[indexes]
    
    return closest_points 

基本上我从矩阵数据集 ( self.sourcePositions ) 中的所有点中减去请求的方位角和仰角，然后我对每个点的这些差异求和，计算前 3 个最小索引，然后我使用这些索引来访问我的点数据集。

代码工作正常，问题是有时我得到 3 个不包含请求点的最近点。

例子：

错一个：

  Requested point: azimut, elevation, distance
    [200   0   1.47]
    # As you might notice, the requested point is not inside the triangle created by the 3 closest points
    Three closest points: azimut, elevation, distance
    [[199.69547046   0.           1.47      ]
     [199.40203659   5.61508214   1.47      ]
     [199.40203659  -5.61508214   1.47      ]]

好一个：

Requested position:
[190   0   1.47]
# As you can notice, in this case the requested point is inside the triangle generated by the closest 3 points
Three closest points:
[[191.83033621   0.           1.47      ]
 [188.02560265   2.34839855   1.47      ]
 [188.02560265  -2.34839855   1.47      ]]

我该如何解决这个问题？ 我想获得 3 个最近的点，其中“三角形”（我在球面上，所以它不是真正的三角形）包含我请求的点。

Answer 1

从初学者开始azimut+elevation听起来不合适，我更喜欢latitude+longitude热量，因为你使用的是别的东西。

现在如评论中所述，如果您的点形成规则网格，您可以创建一个方程，将拓扑映射到点并返回，其中拓扑由数组中点的 integer 索引（或 2 个索引）描述。 但是，如果您无法推断出这一点或网格不规则，那么您可以这样做：

1. 重新排序您的数组，使其按纬度和经度排序

   所以经度在<0,2*PI>中，纬度在<-PI/2,+PI/2>中，所以我会按两者对你的数组进行排序，而纬度具有更高的优先级（权重）。 让我们称这个新数组pnt[]

2. 将点p映射到最近的球体顶点

   简单地二进制搜索pnt[]直到找到比p具有最大更小或相等纬度的点索引ix

   然后从ix线性搜索（如果您将pnt[]重新排序为切片或记住每个纬度有多少点，则可以使用二进制搜索）直到找到小于或等于p的最大纬度。

   现在pnt[ix]是球体上到p的“最近”点

3. 列出pnt[ix]最近的邻居

   所以简单的pnt[ix]来自经度的左侧，所以pnt[ix+1]应该是下一个点（如果你跨越数组大小你或极点需要用蛮力检查点但只是最后几个点大批）

   现在我们只需要找到这 2 个点下方或上方的对应点（取决于你的p在哪一侧）。 因此，以与#2相同的方式找到 2 个最接近p的点，但纬度越来越小（之前，之后的一个切片）。 这将为您提供3*2 points ，其中 forms（始终使用首先找到的 2 个点）4 个潜在三角形。

4. 测试可能的三角形

   所以你有潜在的三角形p0,p1,p2与球面“平行”。 所以简单地将你的点投影到它的平面上：

    u = p1-p0 v = p2-p0 v = cross(u,v) v = cross(u,v) p' = p0 + dot(p-p0,u)*u + dot(p-p0,v)*v

   所以u,v是基础向量， p0是平面的原点...现在只测试p'在三角形内，所以要么使用 2D 和重心坐标，要么利用叉积并检查 CW/CCW，例如：

    if (dot(cross(p1-p0,p'-p0),p')>=0) if (dot(cross(p2-p1,p'-p1),p')>=0) if (dot(cross(p0-p2,p'-p2),p')>=0) point_is_inside; if (dot(cross(p1-p0,p'-p0),p')<=0) if (dot(cross(p2-p1,p'-p1),p')<=0) if (dot(cross(p0-p2,p'-p2),p')<=0) point_is_inside;

   因此，如果三角形的所有 3 个边都与p'具有相同的 CW/CCW ness，那么您就找到了三角形。