枚举 Python 中标记球和标记箱问题中的所有可能组合

Question

我正在寻找一种 Pythonic 方式来枚举“标记的球进入标记的箱子”问题的所有可能选项。 例如，给定 2 个带标签的球和 2 个带标签的箱子，我想得到：

（甲，乙）

(AB, )

(,AB)

（乙，甲）

即 (2^2) 4 个选项。 如果我们给出 3 个球和 3 个箱子，则有 27 种可能性 3^3。 例如：

(A, B, C) (ABC, , ) (, , ABC) (AB, C, ) (C, , AB) (,BC, A) 等等...

我正在考虑解决方案 (AB, ) 和 (BA, ) 相同的项目。

Answer 1

计算对象

这些对象在很多地方也被称为 k 分区。

我们可以先对它们进行计数，然后使用计数方法来测试我们是否生成了正确数量的对象。

第二类斯特林数是计算n球放入b个非空箱的次数。

我们可以将其扩展到以下公式以允许空箱

\sum_{e=0}^{b} {b\choose e} S(n,be) (be)!

在上面的总和中， e表示空 bin 的数量，因此我们允许0到b个空 bin，术语binomial(b,e)将占空 bin 的任何 position， be其余为非空垃圾箱由S(n,be)计数，但我们仍然需要允许我们通过(be)! .

我们可以使用以下程序来计算：

#!/usr/bin/python3
from sympy import *
from sympy.functions.combinatorial.numbers import stirling

#
# Counting the number of ways to place n balls into b boxes, allowing
# for empty boxes.
#


def count_k_partitions(n,b):
    ans = 0
    for e in range(0,b+1):
        ans += binomial(b,e) * stirling(n,b-e,kind=2) * factorial(b-e)
    return ans

print("c(2,2):",count_k_partitions(2,2))
print("c(3,3):",count_k_partitions(3,3))
print("c(6,7):",count_k_partitions(6,7))

OUTPUT：

c(2,2): 4
c(3,3): 27
c(6,7): 117649

也可以看看：

• 该线程得出相同的公式

• 这两个线程讨论了放置球后有e空箱的概率link1 , link2

生成对象

这是一个递归算法，可生成将球放置到箱中的位置。 每个球被放置在一个箱子中，然后算法进一步递归到剩余的球中以放置下一个球。 当没有更多的球可以放置时，我们将打印所有垃圾箱的内容。

#!/usr/bin/python3
import string
import copy
#
# This generates all the possible placements of
# balls into boxes (configurations with empty boxes are allowed).
#
class BinPartitions:

    def __init__(self, balls, num_bins):
        self.balls = balls
        self.bins = [{} for x in range(num_bins)]

    def print_bins(self, bins):
        L = []
        for b in bins:
            buf = ''.join(sorted(b.keys()))
            L += [buf]
        print(",".join(L))

    def _gen_helper(self,balls,bins):
        if len(balls) == 0:
            self.print_bins(bins)
        else:
            A,B = balls[0],balls[1:]
            for i in range(len(bins)):
                new_bins = copy.deepcopy(bins)
                new_bins[i].update({A:1})
                self._gen_helper(B,new_bins)

    def get_all(self):
        self._gen_helper(self.balls,self.bins)

BinPartitions(string.ascii_uppercase[:3],3).get_all()
#BinPartitions(string.ascii_uppercase[:2],2).get_all()
#BinPartitions(string.ascii_uppercase[:3],3).get_all()
#BinPartitions(string.ascii_uppercase[:6],3).get_all()

OUTPUT：

ABC,,
AB,C,
AB,,C
AC,B,
A,BC,
A,B,C
AC,,B
A,C,B
A,,BC
BC,A,
B,AC,
B,A,C
C,AB,
,ABC,
,AB,C
C,A,B
,AC,B
,A,BC
BC,,A
B,C,A
B,,AC
C,B,A
,BC,A
,B,AC
C,,AB
,C,AB
,,ABC

其他生成对象的算法

基于分区的算法： link1 ； 链接2

Knuth 算法 U： link1 ； 链接2 ； 链接3

这篇文章中使用的所有代码也可以在这里找到