最小化两个 Arrays 的绝对差之和

Question

我有两个大小为n的整数A和B的 arrays 。 一对的成本是|A(i) - B(i)| .
我想将 A 和 B 的 n 个元素配对，以使所有A(i)和B(i)的所有成本的总和最小化。

我知道我可以通过排序A得到O(n log n) ，然后排序B ，然后分别从1...n将它们配对，但是在尝试了几个小时之后，我不知道如何证明它。 有人可以帮帮我吗？

我已经看到了如何实现它，我只是不知道如何证明它

Answer 1

假设按照当前排序的arrays，有一对|xa| , 和另一对|yb| . 假设切换元素会产生更小的总和，即更优的解决方案。
（注意：在两对左右切换时，阵列的 rest 不受影响）。

Current total sum of pairs = |x-a| + |y-b|  
Modified sum after switching pairs = |x-b| + |y-a|
Difference in sums = diff = |x-b| - |x-a| + |y-a| + |y-b|

如果diff为负数，则意味着我们找到了更好的排序。 如果不是，则意味着我们最初的解决方案更好。

现在，您可以采取案例并对此进行分析。 （由于 arrays 已排序，因此让x<y （它们来自第一个数组）和a<b （它们来自第二个数组）。

1. 案例 1： x>b或y<a ：
   在这种情况下，两个和将相等，这可以通过扩展模数很容易看出
2. 案例 2： a<x<b ：
   如果y>b ，则diff = 2*(bx) 。 因为我们假设b>x ，所以diff是正数。
   如果y<b ，则diff = 2*(yx) 。 由于y>x如前所述，diff 再次为正。

您可以继续采取类似的案例并证明diff将始终为正，这意味着我们最初的排序将是最有效的排序。

Answer 2

我在这里采用一种稍微不同的方法，通过使用平方而不是绝对来证明这一事实。

考虑 2 arrays, A = [a1, a2, ..., an]和B = [b1, b2, ..., bn] 。

现在，即使我使用随机配对（使用A和B中的任何索引形成一对），

假设，差的平方和 ( S ) = a1^2 + b1^2 + a2^2 + b2^2 +... + an^2 + bn^2 - 2 * (a1 * b3 + a2 * b4 +.... + an * b56 + bn * a34)。

上面的总和可以表示为S = sum(ai^2) + sum(bi^2) - 2 * sum(ai*bi) ，因为i从 1 到 n。

为了最小化这个总和，我们需要最大化部分sum(ai*bi) ，因为i从 1 变为 n。

当对 2 个 arrays 进行排序时，项sum(ai*bi)将最大。

感谢您指出@Abhinav Mathur ： The term sum(ai*bi) will be maximum when the 2 arrays will be sorted可以使用 重排不等式来证明。

Answer 3

排序和配对创建了一个我们可以称为“单调”的匹配，它确保如果 A[i] 匹配 B[x] 并且 A[j] 匹配 B[y]，那么：

• 如果 A[i] < A[j] 那么 B[x] <= B[y]; 和
• 如果 B[x] < B[y] 则 A[i] <= A[j]

如果您选择的匹配不是单调的，那么某些匹配对将违反这些规则之一。

如果我们从 arrays 中选择任意两个元素，使得 A[i] <= A[j] 和 B[x] <= B[y]，那么我们可以评估单调配对和其他配对的成本。 请注意，如果 A[j] = A[j] 或 B[i] = B[j] 则两个配对具有相同的成本，因此我们称之为单调的并不重要。

为了比较成本，我们需要摆脱绝对值操作。 我们可以通过分别考虑 4 个值之间的所有可能排序来做到这一点：

案例：A[i] <= A[j] <= B[x] <= B[y]：

• 单调成本：B[x]-A[i] + B[y]-A[j]
• 交换成本：B[y]-A[i] + B[x]-A[j]
• 差异：0
• 成本是一样的——我们选择哪一个都没关系

案例：A[i] <= B[x] <= A[j] <= B[y]

• 单调成本：B[x]-A[i] + B[i]-A[j]
• 其他费用：B[y]-A[i] + A[j]-B[x]
• 差异：2A[j] - 2B[x]
• 由于 A[j] >= B[x]，单调性同样好或更好

... ETC

如果您通过所有 6 个可能的排序 go，在每种情况下，您都会发现单调匹配同样好或更好。 给定任意匹配，可以使每一对元素匹配单调，成本只能下降go。

如果您从最佳匹配开始并使每对匹配单调，那么您最终会得到最佳单调匹配。 （事实上，如果它是最优的，你开始的那个必须是单调的，但我们不必证明这一点）由于每个单调匹配具有相同的成本，并且其中至少有一个是最优的，所以它们都必须是最优的。