通过成对关系检查队列一致性的高效算法

Question

我们有 n 个项目进入和离开队列，它们可以随时进入和离开。 我们得到的信息是，对于每一对 (a,b)，我们知道 1) a 在 b 进入之前离开队列，反之亦然； 2) 在某个时刻，a 和 b 同时在队列中。 或 3) 根本没有任何信息。 假设我们得到了所有（n 选择 2）对的成对信息列表，找到一个 O(n^2) 算法来确定信息中是否存在任何不一致。

例如，a在b进入之前离开（为简单起见，写为a>b），b>c，c=a是不一致的，因为没有a,b,c的时间线可能进入和离开的队列使所有三个陈述都成立。 我想过把它变成一个图横向问题，每个项目作为一个顶点，成对关系作为一条边，如果 a>b 或 b<a 则它是有向边，如果 a=b 则它是无向边，那么这个问题可能简化为混合图中（具有有向或无向边）中的某种循环检测，其中可以应用 DFS 或 BFS 等算法。 然而，不仅仅是任何一种循环都会导致不一致，显然如果循环中的所有边都是有向的，那么它肯定是不一致的，因为 > 或 < 是可传递的。 但是，如果循环中的所有边都是无向的，则不存在不一致。 或者，如果有些是有向的或有些是无向的，则可能不一致或一致。 例如a>b、b>c、c=a不一致，而a=b、b=c、c>a一致。

任何输入和想法将不胜感激！

Answer 1

将其视为一个有向图，如果a在b进入之前离开，则从a到b有一条弧线，反之亦然。

对于同时在队列中的节点 (x,y)，注意这意味着对于每个顶点 w，一致图没有 x < w < y，也没有 x > w >是的。 通过将这些节点合并为一个节点来反映这一点，保留所有弧。

然后，运行拓扑排序以找到节点的拓扑排序。

当且仅当没有拓扑排序时才存在不一致。

运行时间：拓扑排序为 O(nodes + edges)，即 O(n^2)。